تنص مبرهنة القيمة المتطرفة في حساب التفاضل والتكامل على أنه إذا كانت دالة
f
{\displaystyle f}
ذات قيمة حقيقية مستمرة في المجال
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
، أي أنَّ هذه الدالة
f
{\displaystyle f}
يجب أن تبلغ النهاية العليا والحد النهاية الدنيا ، مرة واحدة على الأقل. توجد أرقام
c
{\displaystyle c}
و
d
{\displaystyle d}
في
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
تحقق:
f
(
c
)
≥
f
(
x
)
≥
f
(
d
)
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]}
تعتبر نظرية القيمة القصوى أكثر تحديدًا من نظرية الحدود ذات الصلة ، والتي تنص فقط على أن دالة مستمرة
f
{\displaystyle f}
في المجال المغلق
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
محدد في ذلك المجال، وهذا يعني أنه توجد أعداد حقيقية
m
{\displaystyle m}
و
M
{\displaystyle M}
تحقق:
m
≤
f
(
x
)
≤
M
∀
x
∈
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].}
هذا لا يعني أنَّ القيمتين
M
{\displaystyle M}
و
m
{\displaystyle m}
هي بالضرورة القيم القصوى والدنيا للدالّة
f
{\displaystyle f}
في المجال المحدود
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
وهو ما تنص عليه نظرية القيمة القصوى يجب أن يكون هو الحال أيضًا.
تُستخدم نظرية القيمة القصوى لإثبات مبرهنة رول . تنص النظرية التي صاغها كارل فايرشتراسعلى أن الدالة المستمرة من فضاء متراص غير فارغ إلى مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية تصل إلى النهاية العليا والنهاية الدنيا.