التعبيرات الجبرية الدقيقة للقيم المثلثية مفيدة في بعض الأحيان، خاصةً لتبسيط الحلول إلى أشكال جذرية تسمح بمزيد من التبسيط.
جميع الأعداد المثلثية - الجيب أو جيب التمام من مضاعفات كسرية لـ 360° - هي أعداد جبرية (حلول المعادلات متعددة الحدود مع معاملات صحيحة)؛ زيادة على ذلك، يمكن التعبير عنها بدلالة جذور الأعداد المركبة؛ ولكن ليس كل هذه يمكن التعبير عنها بدلالة جذور حقيقية. عندما تكون كذلك، فهي قابلة للتعبير بشكل أكثر تحديدًا بدلالة الجذور التربيعية.
جميع قيم الجيب، وجيب التمام، وظلال الزوايا متزايدة بـ 3° يمكن تعبير عنها بدلالة الجذور التربيعية، باستخدام المتطابقات (متطابقة نصف الزاوية، ومتطابقة ضعف الزاوية، ومتطابقة إضافة/طرح الزاوية) وباستخدام القيم لـ 0° و 30° و 36° و 45° . بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات التي ليست مضاعفة لـ 3° (π/60 راديان)، لا يمكن التعبير عن قيم الجيب وجيب التمام والمماس بدلالة الجذور الحقيقية.
وفقًا لمبرهنة نيفن، فإن القيم الكسرية الوحيدة لدالة الجيب التي من أجلها تكون عمدتها (argument) عبارة عن عدد كسري من الدرجات هي: 0، و 1/2، و 1، -1/2 و -1.
وفقًا لمبرهنة باكر، إذا كانت قيمة الجيب أو جيب التمام أو الظل جبرية، فإن الزاوية تكون إما عددًا نسبيًّا من الدرجات أو عددًا متساميًا من الدرجات. وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية عبارة عن عدد جبري من الدرجات، ولكنها غير كسرية، فإن جميع الدوال المثلثية لها قيم متسامية.