إتقان موضوع نظرية الحد الأدنى الأقصى

نظرية الحد الأدنى الأقصى هي مبدأ أساسي في نظرية الألعاب والاستمثال المحدب وضعه عالم الرياضيات المجري جون فون نيومان، وينص على أن كُلّ لعبة تحتوي على لاعبين اثنين ولها مجموع صفري فإنّها تنطوي على استراتيجيات مثالية تضمن للاعبين المشتركين أقل خسارة ممكنة أو أكبر ربح ممكن بحيث يكون الحد الأقصى لأدنى ربح مساويًا الحد الأدنى لأقصى خسارة مما يُحقق التوازن.

يُمكن كتابة الصيغة الرياضية لنظرية الحد الأدنى الأقصى على النحو التالي:











max



x

∈

X







min



y

∈

Y





f

(

x

,

y

)

=



min



y

∈

Y







max



x

∈

X





f

(

x

,

y

)





{\displaystyle \max _{x\in X}\min _{y\in Y}f(x,y)=\min _{y\in Y}\max _{x\in X}f(x,y)}





في العموم يكون الطرف الأيسر دائمًا أكبر من الطرف الأيمن (متباينة الحد الأقصى - الحد الأدنى)، ولا يتساوى الطرفان إلا في ظل شروط معينة تُطبّق على المجموعتين 𝑋 و𝑌 وعلى الدالة 𝑓 وفقًا لنظرية الحد الأدنى الأقصى. نُشرت نظرية الحد الأدنى الأقصى لأول مرة عام 1928، ثُم ظهور العديد من التعميمات والصيغ البديلة لنظرية فون نيومان الأصلية في الأدبيات، غير أن النظرية الأصلية اعتُبرت بمثابة نُقطة الانطلاق لنظرية الألعاب، حتى أن جون فون نيومان وصف النظرية بقوله: "لا يمكن على حد علمي أن تكون هناك نظرية للألعاب بدون تلك النظرية... لذلك كنت أعتقد أنه لا يوجد شيء يستحق النشر حتى يتم إثبات نظرية الحد الأدنى الأقصى."