في التحليل الرياضي، تنص متباينة مينكوفسكي( Minkowski inequality) على أن فضاءات L p هي متجهية معيارية . اترك
S
{\displaystyle S}
ليكون مساحة قياس، و
1
≤
p
<
∞
{\displaystyle 1\leq p<\infty }
ثم
f
{\displaystyle f}
و
g
{\displaystyle g}
L
p
(
S
)
.
{\displaystyle L^{p}(S).}
ثم بعدها
f
+
g
{\displaystyle f+g}
هو في
L
p
(
S
)
,
{\displaystyle L^{p}(S),}
و لدينا متباينة المثلث
‖
f
+
g
‖
p
≤
‖
f
‖
p
+
‖
g
‖
p
{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}
مع التساوي ل
1
<
p
<
∞
{\displaystyle 1
إذا و فقط إذا كان
f
{\displaystyle f}
و
g
{\displaystyle g}
تعتمد بشكل خطي إيجابي؛ أي،
f
=
λ
g
{\displaystyle f=\lambda g}
لبعض
λ
≥
0
{\displaystyle \lambda \geq 0}
أو
g
=
0.
{\displaystyle g=0.}
‖
f
‖
p
=
(
∫
|
f
|
p
d
μ
)
1
p
{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}
و إذا
p
<
∞
,
{\displaystyle p<\infty ,}
أو في حالة
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty }
بواسطة الحد الأقصى الأساسي
‖
f
‖
∞
=
e
s
s
s
u
p
x
∈
S
|
f
(
x
)
|
.
{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}
متباينة مينوفسكي هي متباينة المثلث في
L
p
(
S
)
.
{\displaystyle L^{p}(S).}
إنها حالة خاصة للحقيقة الأكثر عمومية
‖
f
‖
p
=
sup
‖
g
‖
q
=
1
∫
|
f
g
|
d
μ
,
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
حيث أنه من الواضح جليا أن الجانب الأيمن يلبي المتباينة المثلثية.
كما هو الحال مع متباينة هولدر، تخصص متباينة مينكوفسكي للمتتاليات و المتجهات باستخدام مقياس العد :
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
+
y
k
|
p
)
1
/
p
≤
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
+
(
∑
k
=
1
n
|
y
k
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}
و ذلك لجميع الأعداد الحقيقية أو المركبة
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}}
و عندما
n
{\displaystyle n}
هي عددية
S
{\displaystyle S}
أي عدد العناصر في
S
{\displaystyle S}
.
المتباينة سميت على إسم عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي.