في نظرية التحكم، معادلة جرايمان Cross Gramian هي مصفوفة جرايمانية تستخدم لتحديد قابلية التحكم وقابلية الملاحظة لأي نظام خطي.
لكل نظام مستقل زمنيًا (منظومة رصينة) يكون:
x
˙
=
A
x
+
B
u
{\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu\,}
y
=
C
x
{\displaystyle y=Cx\,}
وبالتالي يكون شكل المعادلة:
W
X
:=
∫
0
∞
e
A
t
B
C
e
A
t
d
t
{\displaystyle W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,}
وباستخدام معادلة سيلفستر:
A
W
X
+
W
X
A
=
−
B
C
{\displaystyle AW_{X}+W_{X}A=-BC\,}
يكون كل من
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle (A,B,C)}
قابلين للتحكم وللملاحظة. إذا كان المصفوفة
W
X
{\displaystyle W_{X}}
مصفوفة قابلة للعكس.
إذا كان المنظومة
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle (A,B,C)}
متماثلة، فإنه يمكن صياغتها بالشكل التالي:
A
J
=
J
A
T
{\displaystyle AJ=JA^{T}\,}
B
=
J
C
T
{\displaystyle B=JC^{T}\,}
وبالتالي فإن القيمة المطلقة للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية تساوي:
|
λ
(
W
X
)
|
=
λ
(
W
C
W
O
)
.
{\displaystyle |\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,}