في نظرية التحكم، تستخدم قابلية التحكم لجرايمان في تحديد هل النظام الخطي قابل للتحكم أم لا .
لأي منظومة رصينة (نظام مستقل زمنيًا)
x
˙
=
A
x
+
B
u
{\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}
وإذا كانت القيم الذاتية ل
A
{\displaystyle A}
لها قيمة سالبة حقيقة، فإن الحل الفريد
W
c
{\displaystyle W_{c}}
لمعادلة ليابونوف
A
W
c
+
W
c
A
T
=
−
B
B
T
{\displaystyle AW_{c}+W_{c}A^{T}=-BB^{T}}
موجبًا إذا كان
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
قابلين للتحكم.
ويمكن التعبير عن قابلية التحكم لجريمان بالرمز
W
c
{\displaystyle W_{c}}
وتكون المعادلة بالشكل التالي:
W
c
=
∫
0
∞
e
A
τ
B
B
T
e
A
T
τ
d
τ
{\displaystyle W_{c}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }BB^{T}e^{A^{T}\tau }\;d\tau }
وتستخدم مصفوفة أخرى لتحديد قابلية التحكم وهي:
W
c
(
t
0
,
t
1
)
=
∫
t
0
t
1
e
A
(
t
0
−
τ
)
B
B
T
e
A
T
(
t
0
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}e^{A(t_{0}-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t_{0}-\tau )}\;d\tau }
ويكون
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
قابلين للتحكم إذا كانت المصفوفة
W
c
(
t
0
,
t
1
)
{\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})}
مصفوفة قابلة للعكس لأي قيم
t
1
>
t
0
{\displaystyle t_{1}>t_{0}}
.
وللنظام غير المستقل زمنيًا:
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
+
B
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)}
,
y
(
t
)
=
C
(
t
)
x
(
t
)
+
D
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)}
يمكن التحكم فيه على الفترة
[
t
0
,
t
1
]
{\displaystyle [t_{0},t_{1}]}
. بشرط أن تكون مصوفة جرايمان
W
c
(
t
0
,
t
1
)
{\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})}
مصفوفة قابلة للعكس:
W
c
(
t
0
,
t
1
)
=
∫
t
0
t
1
Φ
(
t
0
,
τ
)
B
(
τ
)
B
T
(
τ
)
Φ
T
(
t
0
,
τ
)
d
τ
{\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )\;d\tau }