مبرهنة ستوكس، معروفة أيضًا باسم مبرهنة كلفن-ستوكس، تيمنًا بعالِمَي الرياضيات لورد كلفن وجورج ستوكس، أو المبرهنة الأساسية للدوران أو ببساطة مبرهنة الدوران، هي مبرهنة في حساب المتجهات على
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
. بالنظر إلى حقل متجهي، تربط المبرهنة تكامل دوران الحقل المتجهي على بعض السطح، بالتكامل الخطي للحقل المتجهي حول حدود السطح.
إذا كان الحقل المتجهي
A
=
(
P
(
x
,
y
,
z
)
,
Q
(
x
,
y
,
z
)
,
R
(
x
,
y
,
z
)
)
{\displaystyle \mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))}
معرفة في منطقة ذات سطح أملس موجه
Σ
{\displaystyle \Sigma }
وله مشتقات جزئية مستمرة من المرتبة الأولى، فإن:
∬
Σ
(
∇
×
A
)
⋅
d
a
=
∬
Σ
(
(
∂
R
∂
y
−
∂
Q
∂
z
)
d
y
d
z
+
(
∂
P
∂
z
−
∂
R
∂
x
)
d
z
d
x
+
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
)
=
∮
∂
Σ
(
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
)
=
∮
∂
Σ
A
⋅
d
l
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \limits _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {a} &=\iint \limits _{\Sigma }{\Bigg (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy{\Bigg )}\\&=\oint \limits _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}=\oint \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} ,\end{aligned}}}
حيث
∂
Σ
{\displaystyle \partial \Sigma }
هي حدود المنطقة ذات سطح أملس
Σ
{\displaystyle \Sigma }
.
يمكن ذكر مبرهنة ستوكس الكلاسيكية المذكورة أعلاه في جملة واحدة: التكامل الخطي لحقل متجه على عُرْوة (Loop) يساوي تدفق دورانه عبر السطح المغلق.
مبرهنة ستوكس هي حالة خاصة لمبرهنة ستوكس المعممة. على وجه الخصوص، يمكن اعتبار حقل المتجه على
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
أحادي الصورة وفي هذه الحالة يكون دورانه هو مشتقه الخارجي، ثنائي الصورة.