ماذا تعرف عن قاعدة لايبنتز للتكامل

قاعدة لايبنتز للتكامل هي قاعدة رياضياتية في حساب التفاضل والتكامل سميت تيمنا بغوتفريد لايبنتز، والتي تقول أن كل تكامل على شاكلة:











∫



a

(

x

)





b

(

x

)





f

(

x

,

t

)



d

t

,





{\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}





حيث أن







−

∞

<

a

(

x

)

,

b

(

x

)

<

∞





{\displaystyle -\infty


مشتقته بالشكل التالي:













d



d

x









(





∫



a

(

x

)





b

(

x

)





f

(

x

,

t

)



d

t



)



=

f





(





x

,

b

(

x

)





)





⋅





d



d

x







b

(

x

)

−

f





(





x

,

a

(

x

)





)





⋅





d



d

x







a

(

x

)

+



∫



a

(

x

)





b

(

x

)









∂



∂

x







f

(

x

,

t

)



d

t

,





{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}





حيث آن المشتق الجزئي يدل على أن ما داخل التكامل يمكن الأخذ به عندما يكون المتغير f(x, t) x يعتبر في اتخاذ مشتق. لاحظ أنه إذا كان كلا من







a

(

x

)





{\displaystyle a(x)}



و







b

(

x

)





{\displaystyle b(x)}



ثوابت، بمعنى أنّ







a

(

x

)

≡

a





{\displaystyle a(x)\equiv a}



و







b

(

x

)

≡

b





{\displaystyle b(x)\equiv b}



، فسنحصل على التعبير التّالي:













d



d

x









(





∫



a





b





f

(

x

,

t

)



d

t



)



=



∫



a





b









∂



∂

x







f

(

x

,

t

)



d

t

.





{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}