ماذا تعرف عن عنصر الحجم

في الرياضيات، يوفر عنصر الحجم (بالإنجليزية: Volume element) وسيلة لتكامل دالة فيما يتعلق بالحجم في أنظمة إحداثيات مختلفة مثل الإحداثيات الكروية والإحداثيات الأسطوانية. وبالتالي فإن عنصر الحجم هو تعبير على الصورة:









d

V

=

ρ

(



u



1





,



u



2





,



u



3





)



d



u



1







d



u



2







d



u



3









{\displaystyle dV=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}}





حيث: ال









u



i









{\displaystyle u_{i}}



هي الإحداثيات، وبذلك يكون حجم أي مجموعة







B





{\displaystyle B}



يمكن حسابه بواسطة المعادلة:









Volume

⁡

(

B

)

=



∫



B





ρ

(



u



1





,



u



2





,



u



3





)



d



u



1







d



u



2







d



u



3





.





{\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}





على سبيل المثال، في الإحداثيات الكروية







d

V

=



u



1





2





sin

⁡



u



2







d



u



1







d



u



2







d



u



3









{\displaystyle dV=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}}



، أي أن







ρ

=



u



1





2





sin

⁡



u



2









{\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}



.

لا تقتصر فكرة عنصر الحجم على الأبعاد الثلاثة: في بُعدين يُعرف غالبًا باسم «عنصر المساحة»، ويكون مفيدًا لإجراء تكاملات السطح. ومع تغييرات الإحداثيات، يتغير عنصر الحجم بالقيمة المطلقة للمحدد الياكوبي Jacobian لتحويل الإحداثيات (عن طريق تغيير المتغيرات). تسمح هذه الحقيقة بتعريف عناصر الحجم كنوع من القياس على متعدد الشعب. في متعدد شعب قابل للتفاضل، ينشأ عنصر الحجم عادةً من شكل الحجم: شكل تفاضلي من الدرجة العليا. في متعدد الشعب غير القابل للتوجيه، يكون عنصر الحجم عادةً هو القيمة المطلقة لنموذج الحجم (المُحدَّدَ محليًا): فهو يُعَرِّف كثافة 1 1-density.