فهم حقيقة زمرة خارج القسمة

لكل زمرة







G







{\displaystyle G\!}



وزمرة جزئية طبيعية







N







{\displaystyle N\!}



من







G







{\displaystyle G\!}



، زمرة خارج القسمة (بالإنجليزية: Quotient group أو Factor group) لـ







N







{\displaystyle N\!}



من







G







{\displaystyle G\!}



(وتُكتب







G





/



N







{\displaystyle G\!/N\!}



) هي مجموعة من المجموعات المشاركة لـ







N







{\displaystyle N\!}



من







G







{\displaystyle G\!}



. تُكتب عناصر







G





/



N







{\displaystyle G\!/N\!}



هكذا:







N



a





{\displaystyle N\!a}



، وتشكل هذه العناصر زمرة تحت العملية الطبيعية على الزمرة







N







{\displaystyle N\!}



على المعامل







a





{\displaystyle a}



، وبالتالي:









(

N



a

)

(

N



b

)

=

N



a

b





{\displaystyle (N\!a)(N\!b)=N\!ab}





ولأن جميع عناصر







G







{\displaystyle G\!}



تظهر في مجموعة مشاركة واحدة فقط للزمرة الجزئية الطبيعية







N







{\displaystyle N\!}



، يكون:











|



G





|



=



|



G





/



N





|





|



N





|







{\displaystyle |G\!|=|G\!/N\!||N\!|}





حيث









|



G





|







{\displaystyle |G\!|}



تدل على رتبة الزمرة. ويُستنتج هذا من مبرهنة لاغرانج عند







H



=

G







{\displaystyle H\!=G\!}



و







K



=

N







{\displaystyle K\!=N\!}



.