في الرياضيات، وبالتحديد في فرع من فروع الجبر التجريدي يسمى نظرية غالوا، زمرة غالوا (بالإنجليزية: Galois group) لصنف معين من امتدادات الحقول هو زمرة معينة...
ليكن
L
{\displaystyle L\!}
حقل امتداد
K
{\displaystyle K\!}
ويُرمز لها بـ
L
/
K
{\displaystyle L\!/K\!}
، وليكن
G
{\displaystyle G\!}
مجموعة التماثلات الذاتية لـ
L
/
K
{\displaystyle L\!/K\!}
، أو بعبارة أخرى لنأخذ مجموعة التماثلات الذاتية
σ
{\displaystyle \sigma }
من
L
{\displaystyle L\!}
حيث
σ
(
x
)
=
x
{\displaystyle \sigma (x)=x}
لكل
x
∈
K
{\displaystyle x\in K\!}
، فبالتالي تكون
K
{\displaystyle K\!}
محددة. فالزمرة
G
{\displaystyle G\!}
هي زمرة تحاويل
L
{\displaystyle L\!}
وتسمى زمرة غالوا (بالإنجليزية: Galois group) لـ
L
/
K
{\displaystyle L\!/K\!}
، ويُرمز لها بـ
Gal
(
L
/
K
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (L\!/K\!)}
أو
Aut
(
L
/
K
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} (L\!/K\!)}
.
ليكن
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
متعددة حدود كسرية من الدرجة
n
{\displaystyle n}
ودع
K
{\displaystyle K\!}
حقل انشطار
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
على
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
، أي أن الحقل الجزئي الأصغر من
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
يضم كل جذور
f
{\displaystyle f}
. وبالتالي فكل عنصر من عناصر زمرة غالوا
G
{\displaystyle G\!}
يبدل جذور
f
{\displaystyle f}
بطريقة فريدة. وبالتالي يمكن تعريف
G
{\displaystyle G\!}
زمرةً جزئية من الزمرة المتماثلة
S
n
{\displaystyle S_{n}}
، وهي زمرة تباديل جذور
f
{\displaystyle f}
. إذا كانت
f
{\displaystyle f}
غير قابلة للاختزال، تكون
G
{\displaystyle G\!}
زمرة جزئية متعدية من
S
n
{\displaystyle S_{n}}
، أي أنه بإعطاء الجذرين
α
{\displaystyle \alpha }
و
β
{\displaystyle \beta }
لـ
f
{\displaystyle f}
، يوجد عنصر
σ
{\displaystyle \sigma }
من
G
{\displaystyle G\!}
حيث يكون
σ
(
α
)
=
β
{\displaystyle \sigma (\alpha )=\beta }
.