فك شفرة خاصية أرخميدس

خاصية أرخميدس:

بمعرفتك لمجموعة الأعداد الحقيقية R وتصورك لخط الأعداد الحقيقية قد يبدو واضحاً أن مجموعة الأعداد الطبيعية N غير محدودة في مجموعة الأعداد الحقيقية R كيف نستطيع اثبات ذلك ؟

في الحقيقة لا نستطيع ان نفعل ذلك باستخدام الجبر وخصائص النظام، في الواقع يجب أن نستخدم completeness propertyفي R إضافة إلى خاصية الإستقراء في N حيث أن ( إذا كان n∈N فإن n+1 ∈N )

عند عدم وجود الحد العلوي لمجموعة الاعداد الطبيعية N يعني ذلك أن أي عدد حقيقي x يوجد عدد طبيعي n (يعتمد على x) بحيث x
الإثبات :

نريد أثبات أنه إذا كان x∈R إذا يوجد nx∈N بحيث x≤nx

نفرض العكس للحصول على تناقض

اذن نفترض : لكل n∈N بحيث x>n

اذن x تمثل حداً علوياً للمجموعة N ومنها :

اذن يوجد u∈R بحيث أن u=sup N

يعنيu-1 ليس حد علوي

اذن يوجد m∈N بحيث u-1
u
اذنu ليس اصغر حد علوي لمجموعة Nاذن يوجد nx∈N بحيث x≤nx



نتيجه:

إذا كان

S={1/n: n∈N} → inf S =0

الاثبات :

S مجموعة غير خاليه ومحدوده من أسفل بالصفر، لنفرض أن w=inf S

ومن الواضح أن w≥0 لكل ε>0 خاصية أرخميدس تعني أنه يوجد n∈N بحيث :

ε<1/nاذن n>1/ε نجد أن لدينا:

0≤w≤1/n <ε

ولكن لأي قيمة عشوائية لـ ε>0 فإن w=0



نتيجه:

إذا كانت t>0 يوجد nt∈N بحيث:

0<1/nt
اثبات:

عندما inf{1/n: n∈N}=0 و t>0 إذا t ليس حد سفلي للمجموعه {1/n حيث n∈N} وبالتالي يوجد nt∈N بحيث 0<1/nt


نتيجه:

إذا كانت y>0 يوجد nyN بحيث :

ny-1≤ y ≤ny

اثبات:

خاصية أرخميدس يضمن المجموعة {Ey={m∈N : y
مثال على تطبيق خاصية ارخميدس في اثبات نظريات أخرى :

-اثبتي أن المتتابعة (n) تباعدية.

من خاصية أرخميدس نعلم أن الاعداد الطبيية غير محدودة إذاً المتتابعة n غير محدوده وبالتالي تكون تباعدية

ومن المعاكس الإيجابي لنظرية أن «كل متتابعة محدودة هي تقاربية» إذا كل غير محدوده تباعديه

إذاً (n) تباعدية

المصدر: introduction to real analysysis

Robert G.Bartlr

4thedithion

نتيجة 1 :

المجموعة N محدودة من أسفل ولكن ليست محدودة من أعلى

نتيجة 2 :

لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث:



x>1/n



نتيجة 3 :

لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد m,n ينتمي للاعداد الصحيحة حيث:



n>x>m



نتيجة 4 :

لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الصحيحة حيث:



n+1>x ≥ n



نتيجة 5 :

لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث:



x ≥ n> x-1



نتيجة 6 :

لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية:



بحيث x> n ≥ x-1



مثال :

لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث:



n(n+1)/2>x≥ n(n-1)/2



للعدد الحقيقي 1/2*(2x+ 1/4)√ من النتيجة 5 يوجد عدد وحيد n∈N بحيث :

N+1>√(2x+ 1/4)+1/2≥n



n+1/2)^2> 2x+ 1/4 ≥ (n-1/2)^2)



أو



n^2+n> 2x ≥ n^2-n



أو



n(n+1)/2>x≥ n(n-1)/2



يوضح المثال بالأعلى أن كل عدد صحيح موجب nيستطيع أن يعرف فردياً كـ:

n=(i(i-1))/2 +j

لكل i,j∈N ^ 1≤ j ≤i

في مثل هذا المثال الفريد من نوعه للعناصر الطبيعية يكون أحياناً مساعد لفحص مجموعة الاعداد القابله للعد

المصدر : الويكبيديا الإنجليزية

Archimedean semi-group

ترجمة وتنسيق طالبات قسم الرياضيات - جامعة الدمام

بإشراف الدكتورة فاطمة الرواجح