ماذا تعرف عن حلم الطالب المبتدئ

حلم الطالب المبتدئ (بالإنجليزية: freshman's dream) هو اسم يُطلق في بعض الأحيان على الخطأ:









(

x

+

y



)



n





=



x



n





+



y



n









{\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}}



حيث







n





{\displaystyle n}



عدد حقيقي (عادة يكون عدد صحيح موجب أكبر من 1).

يحدث هذا الخطأ بشكل شائع بين الطلاب المبتدئين في حساب الأس لمجموع عددين حقيقيين. عندما تكون







n

=

2





{\displaystyle n=2}



، ولتوضيح سبب الخطأ فإن







(

x

+

y



)



2









{\displaystyle (x+y)^{2}}



يمكن أن تحسب بشكل صحيح من خلال المتطابقة الشهيرة أو ما يعرف بطريقة FOIL حيث تقول بأن: «مربع مجموع عددين هو مربع الأول + ضعفي الأول في الثاني + مربع الثاني»، حيث يكون الجواب









x



2





+

2

x

y

+



y



2









{\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}



.

وعندما تأخذ







n





{\displaystyle n}



أعداد صحيحة موجبة أكبر، يعطى الناتج الصحيح بواسطة مبرهنة ثنائية الحد.

ويُطلق اسم «حلم الطالب المبتدئ» في بعض الأحيان أيضاً على المبرهنة التي تقول بأنه: لكل عدد أولي







p





{\displaystyle p}



، إذا كان العددان







x





{\displaystyle x}



و







y





{\displaystyle y}



مقدارين من حلقة تبادلية مميزها هو (characteristic)







p





{\displaystyle p}



فإن:







(

x

+

y



)



p





=



x



p





+



y



p









{\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}



; في هذه الحالة يكون هذا «الخطأ» هو في الواقع الجواب الصحيح، وذلك لأن تقسيم







p





{\displaystyle p}



على كل المعاملات الثنائية يُبقي العددان الأول والأخير.