هوية سومرفيلد هي هوية رياضياتية، اكتشفت عن طريق أرنولد سومرفيلد و تستعمل في نظرية انتشار الموجات.
e
i
k
R
R
=
∫
0
∞
I
0
(
λ
r
)
e
−
μ
|
z
|
λ
d
λ
μ
{\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}
حيث
μ
=
λ
2
−
k
2
{\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}
تًُأخذ بالجزء الموجب الحقيقي، لتأكيد انحصار التكامل و تلاشيه عندما
z
→
±
∞
{\displaystyle {\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }}
، و
R
2
=
r
2
+
z
2
{\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}
هنا
R
{\displaystyle R}
هي المسافة من نقطة المركز بينما
r
{\displaystyle r}
هي المسافة من المحور المركزي لاسطوانة كما في نظام الإحداثي أسطواني
(
r
,
ϕ
,
z
)
{\displaystyle {\displaystyle (r,\phi ,z)}}
. هنا طريقة كتابة الرموز لدالة بيسل تتبع النظام الألماني، حت تكون على اتساق مع طريقة كتابة الرموز الأصلية المتبعة من سومرفيلد. الدالة
I
0
(
z
)
{\displaystyle {\displaystyle I_{0}(z)}}
هل من المستوى صفر لدالة بيسل من النوع الأول، أو ما يعرف بـ
I
0
(
z
)
=
J
0
(
i
z
)
{\displaystyle {\displaystyle I_{0}(z)=J_{0}(iz)}}
في الطريقة الإنجليزية. هذه الهوية هي هوية سومرفيلد.
يمكن كتابة هذه الهوية بطريقة أخرى، حيث أنها يمكن أن توجد بشكل أسهل كامتداد لموجة كروية بطريقة الموجات المتماثلة بشكل اسطواني:
e
i
k
0
r
r
=
i
∫
0
∞
d
k
ρ
k
ρ
k
z
J
0
(
k
ρ
ρ
)
e
i
k
z
|
z
|
{\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}
حيث
k
z
=
(
k
0
2
−
k
ρ
2
)
1
/
2
{\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}
طريقة كتابة الرموز هنا مختلفة عما سبق، إذ أن
r
{\displaystyle r}
هنا هي المسافة من نقطة الأصل و
ρ
{\displaystyle {\displaystyle \rho }}
هي المسافة نصف القطرية كما في نظام الإحداثي أسطواني المعرف كـ
(
ρ
,
ϕ
,
z
)
{\displaystyle {\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}}
. المعنى الفيزيائي هنا هو أن الموجة الكروية يمك أن تتوسع إلى مجموع من الموجوات الأسطوانية في الاتجاه
ρ
{\displaystyle \rho }
، مضروبة بموجة مستوية ثنائية الأوجه في الاتجاه
z
{\displaystyle z}
. يجب أن يأخد هذا المجموع لجميع أرقام الموجة
k
ρ
{\displaystyle {\displaystyle k_{\rho }}}
.
تعتبر هوية سومرفيلد مرتبطة بشكل قريب بتحويل فورييه ثنائي الأبعاد مع تمثال أسطواني، على سبيل المثال، كتحويل هانكل. يمكن الحصول عليها عند تحويل الموجة الكروية على طول الإحداثيات المستوي
x
,
y
)
{\displaystyle {\displaystyle x},{\displaystyle y)}}
أو
(
ρ
,
ϕ
{\displaystyle {(\displaystyle \rho },{\displaystyle \phi }}
، مع عدم التحويل على طول الارتفاع
z
{\displaystyle z}
.