في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية (بالإنجليزية: Cauchy–Riemann equations) في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية
معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان:
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\,}
و
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
{\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\,}
عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد
z
=
x
+
i
y
,
f
(
x
+
i
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=x+iy,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
افترض ان u وv دوال قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجموعة جزئية مفتوحة من
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, والتي ممكن اعتبارها دالة من
R
2
{\displaystyle \mathbb {R^{2}} }
إلى
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
، فإن هذا يؤدي إلى أن المشتقة الجزئية ل u , v موجودة (على الرغم من انها لا تحتاج ان تكون متصلة).
إذا كانت الدالة
f
=
u
+
i
v
{\displaystyle f=u+iv}
قابلة للاشتقاق عند النقطة
z
0
=
x
0
+
i
y
0
{\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}
، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
وتحقق معادلات كوشي -ريمان.