استكشف روعة تبديل (توافيقيات)

في الرياضيات وتحديدًا في التوافيقيات، التبديل (الجمع: تباديل) (بالإنجليزية: Permutation) هي عملية ترتيب عناصر مجموعة في متسلسلة أو بترتيب معين. إذا كانت العناصر مرتبة، فعملية إعادة ترتيب عناصرها تسمى تبديلا.

تختلف التباديل عن التوافيق والتي تعرف بأنها مختارات لعناصر من مجموعة ما بدون اعتبار الترتيب. على سبيل المثال: يوجد







6





{\displaystyle 6}



تبديلات للمجموعة







{

1

,

2

,

3

}





{\displaystyle \{1,2,3\}}



وهي كالآتي:









(

1

,

2

,

3

)

,

(

1

,

3

,

2

)

,

(

2

,

1

,

3

)

,

(

2

,

3

,

1

)

,

(

3

,

1

,

2

)

,

(

3

,

2

,

1

)





{\displaystyle (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}



.

هذه هي جميع الترتيبات الممكنة لمجموعة من







3





{\displaystyle 3}



عناصر. قلب كلمات لها حروف مختلفة أيضا تشكل نوعا من التباديل. فأي حروف في أي كلمة مرتبة بترتيب معين لكن قلب أو إعادة ترتيب الحروف يعتبر تبديلا.

دراسة تبديلات المجموعات المنتهية موضوع مهم في مجال التوافقيات ونظرية الزمر.

تُدرس التباديل في أغلب فروع الرياضيات وفي مجالات عديدة في العلوم. يتم استخدام التباديل في علوم الحاسب لتحليل ترتيب خوارزمية وميكانيكا الكم وأيضا في الأحياء.

عدد التباديل التي يمكن أن تخضع لها مجموعة عدد عناصرها هو







n





{\displaystyle n}



يساوي مضروب







n





{\displaystyle n}



، والذي يكتب بالصيغة







n

!





{\displaystyle n!}



. مضروب







n





{\displaystyle n}



هو عملية ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو يساوي







n





{\displaystyle n}



.

في الجبر وبالتحديد في نظرية الزمر، تبديل المجموعة







S





{\displaystyle S}



هو تقابل من المجموعة







S





{\displaystyle S}



نحو نفسها. والمقصود بالتقابل هو دالة من







S





{\displaystyle S}



إلى







S





{\displaystyle S}



حيث يوجد صورة واحدة لكل عنصر. وهـذا مرتبط بإعادة ترتيب عناصر







S





{\displaystyle S}



حيث يستبدل كل عنصر







s





{\displaystyle s}



بالصورة المقابلة له







f

(

s

)





{\displaystyle f(s)}



. فعلى سبيل المثال، ممكن كتابة التبديلة







(

3

,

1

,

2

)





{\displaystyle (3,1,2)}



المذكورة اعلاه بالدالة







α





{\displaystyle \alpha }



المعرفة كالتالي:









α

(

1

)

=

3

,

α

(

2

)

=

1

,

α

(

3

)

=

2





{\displaystyle \alpha (1)=3,\alpha (2)=1,\alpha (3)=2}



.

تشكل مجموعة جميع التباديل الممكنة لمجموعة ما زمرة تُدعى زمرة تبديلات.

المهم في هذه الزمرة هو أن عملية تحصيل أي تبديلتين ينتج عنها تبديلة جديدة. ممكن أن تُشكل أي تبديلة لمجموعة عناصر بإحدى طريقتين: إما بترتيب مركباته أو باستخدام اسلوب التعويض لأحد الرموز. بالغالب نستخدم المجموعة







S

=



N



n





=

{

1

,

2

,

…

,

n

}





{\displaystyle S=N_{n}=\{1,2,\ldots ,n\}}



لكن لايوجد أيضا مانع لإستخدام أي مجموعة.

في إطار التركيبات الابتدائية، يُستخدم مصطلحي التباديل الجزئية وتبديلات لـ







k





{\displaystyle k}



(k-permutations) والتي تعني بترتيب عدد







k





{\displaystyle k}



من العناصر المختلفة المختارة من مجموعة ما. وعندما تكون (partial permutations) تساوي عدد عناصر المجموعة فإن هذين التبديلين يعتبر تبديلات للمجموعة ككل.