في نظرية الاحتمال والإحصاء، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال
R
{\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} \ }
حيث:
φ
X
(
t
)
=
E
[
e
i
t
X
]
=
E
[
cos
(
t
X
)
]
+
i
E
[
sin
(
t
X
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{X}(t)&=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]\\&=\mathbb {E} \left[\cos(tX)\right]+i\ \mathbb {E} \left[\sin(tX)\right].\end{aligned}}}
في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي
2
π
{\displaystyle \scriptstyle \ 2\pi \,}
) لدالة الكثافة.
(في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة
ϕ
X
(
t
)
=
E
[
e
2
i
π
t
X
]
.
{\displaystyle \scriptstyle \ \phi _{X}(t)=E[e^{2i\pi tX}].}
)
بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال
R
d
{\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} ^{d}\ }
، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال
R
d
{\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} ^{d}\ }
بـ :
ϕ
X
(
u
)
=
E
[
e
i
⟨
u
,
X
⟩
]
{\displaystyle \phi _{X}(u)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle u,X\rangle }\right]\,}
أين
⟨
u
,
X
⟩
{\displaystyle \scriptstyle \ \langle u,X\rangle \,}
هو الجداء القياسي لـ u مع X.
في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :
G
(
z
)
=
E
[
z
X
]
{\displaystyle G(z)=\mathbb {E} \left[z^{X}\right]}
باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا :
ϕ
X
(
t
)
=
G
(
e
i
t
)
;
{\displaystyle \phi _{X}(t)=G\left(e^{it}\right);}
حيث أن الدالة G هي امتداد لـ
ϕ
X
{\displaystyle \scriptstyle \ \phi _{X}}