اكتشاف قوة وحدة (نظرية الحلقات)

الوحدة (بالإنجليزية: Unit) أو العنصر القابل للعكس هي عنصر في حلقة يمتلك معكوسًا ضربيًّا. إذا كان







a





{\displaystyle a}



عددًا صحيحًا جبريًّا يقسم كل عدد صحيح جبري في الحقل، تُسمَّى







a





{\displaystyle a}



حينها وحدة في ذاك الحقل. يمكن لحقل ما أن يحتوي عددًا غير منتهٍ من الوحدات. وحدات











Z







n









{\displaystyle \mathbb {Z\!} _{n}}



هي العناصر الأولية فيما بينها وبين







n





{\displaystyle n}



. وتسمى الوحدات المربعة الكاملة في











Z







n









{\displaystyle \mathbb {Z\!} _{n}}



البواقي التربيعية.

كل الحقول التربيعية الحقيقية









Q





(





D







)





{\displaystyle \mathbb {Q\!} ({\sqrt {D\!}})}



تمتلك الوحدتين







±

1





{\displaystyle \pm 1}



. أعداد الوحدات في الحقل التربيعي التخيلي









Q





(







D







)





{\displaystyle \mathbb {Q\!} ({\sqrt {-D\!}})}



حيث







D



=

1

,

2

,

.

.

.





{\displaystyle D\!=1,2,...}



هي 4, 2, 6, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 2, ... (طالع هذه المتتالة من موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت). ويوجد أربع وحدات لكل







D



=

1

,

4

,

9

,

16

,

.

.

.





{\displaystyle D\!=1,4,9,16,...}



(طالع هذه المتتالية، وهي الأعداد المربعة الكاملة)، وستٌ لكل







D



=

3

,

12

,

27

,

48

,

.

.

.





{\displaystyle D\!=3,12,27,48,...}



(طالع هذه المتتالية، وهي الأعداد المربعة الكاملة مضروبةً في ثلاثة)، واثنتان لكل الحقول التربيعية التخيلية الأخرى، أي







D



=

2

,

5

,

6

,

7

,

8

,

10

,

11

,

.

.

.





{\displaystyle D\!=2,5,6,7,8,10,11,...}



(طالع هذه المتتالية). الجدول التالي يوضح الوحدات لقيم صغيرة لـ







D







{\displaystyle D\!}



، وتشير







ω





{\displaystyle \omega }



إلى الجذر المكعب للوحدة.

قراءة المقال الكامل على ويكيبيديا ←