نظرية يامادا–واتانابي هي واحدة من النتائج الجوهرية في نظرية الاحتمالات وحساب التفاضل التصادفي، وتتناول العلاقة بين أنماط الحلول المختلفة للمعادلات التفاضلية التي يدخل في تركيبها عنصر الصدفة، أي ما يُعرف بـ المعادلات التفاضلية التصادفية.
تُنصّ النظرية على ما يلي: إذا توفّر لـمعادلة تفاضلية تصادفية حلٌ ضعيف وهو حل لا يُشترط فيه أن يكون مبنيًا على عملية براونية معيّنة أو على مساحة احتمالية معينة؛ بل يُترك المجال مفتوحًا لاختيار هذه الأدوات المناسبة. وكان هذا الحل يتمتّع بــتفرد المسار إذا انطلق حلّان من نفس البيانات الابتدائية ونفس العملية البراونية، فإنهما يتطابقان في كل لحظة زمنية تقريبًا، فإن ذلك يقتضي بالضرورة وجود حل قوي وهو حل مُحدد بدقة على نفس الفضاء الاحتمالي الذي وُضعت فيه العملية العشوائية. ويترتّب عليه كذلك تفرد في التوزيع أي أن التوزيع الاحتمالي الكامل للمسار هو نفسه لكل حل ممكن.
بعبارة أوضح، فإن تحقق تفرد المسار—أي أن مسارات الحل تتطابق إذا انطلقت من نفس الدالة العشوائية الابتدائية—مع وجود حل ضعيف، كافٍ لضمان وجود حل أقوى من حيث الاعتمادية البنيوية، يكون مرتبطًا صريحًا بـ حركة براونية مفروضة مسبقًا (أو بمصدر الضوضاء العشوائي).
وقد صيغت هذه النظرية لأول مرة في إطار معادلات إيتو من البُعد
n
{\displaystyle n}
، حيث الصيغة العامة للمعادلة تكون على النحو:
d
X
t
=
b
(
X
t
)
d
t
+
σ
(
X
t
)
d
W
t
{\displaystyle dX_{t}=b(X_{t})\,dt+\sigma (X_{t})\,dW_{t}}
حيث:
X
t
{\displaystyle X_{t}}
هو المتغيّر العشوائي الذي نسعى إلى إيجاد مساره عبر الزمن،
b
{\displaystyle b}
هو معامل الانجذاب أو الانجراف،
σ
{\displaystyle \sigma }
هو معامل التشتت أو التقلّب،
W
t
{\displaystyle W_{t}}
تمثل عملية براونية قياسية.
وقد قام بإثباتها العالِمان اليابانيان توشيو يامادا وشينزو واتانابي في سنة 1971، ضمن ورقتهما البحثية الشهيرة التي نُشرت في دورية جامعة كيوتو للرياضيات.
وقد اكتسبت هذه النظرية أهميةً كبيرة في التطبيقات الهندسية والمالية والفيزيائية التي تعتمد على نمذجة الظواهر العشوائية. ومنذ نشرها، ظهرت لها تعميمات عديدة، من أبرزها تعميم يشمل شبه-مارينغالات، وقد برهنه جان جاكود سنة 1980، في ورقة بحثية أصبحت من الكلاسيكيات في هذا الحقل.