أبعاد خفية في نظرية القشرة الكروية

في الميكانيكا الكلاسيكية، تبسط نظرية القشرة الكروية أو نظرية سطح الكرة الجوفاء الحسابات المتعلقة بالجاذبية بشكل يمكن تطبيقه على الأجسام داخل وخارج جسم متناظر كرويًّا. لهذه النظرية تطبيقات محددة في علم الفلك.

أثبت إسحاق نيوتن نظرية القشرة وقال:



يجذب الجسم المتناظر كرويًّا الأجسام الخارجية كما لو كانت كتلته مركزة في نقطة في مركزه.

إذا كان الجسم قشرةً متناظرةً كرويًّا (مثلًا كرة جوفاء)، لا تؤثر القشرة بقوى جذب صافٍ على أي جسم داخلها، مهما يكن موقع الجسم داخلها.

ينتج عن ذلك أن قوة الجذب تتغير خطيًّا مع البعد عن المركز في جسم كروي صلب كثافته ثابتة، لتصبح معدومة بالتناظر في مركز الكتلة (مركز العطالة). يمكن اعتبار هذا كالتالي: لتكن نقطة في كرة كتلك المذكورة، على بعد







r





{\displaystyle r}



من مركز الكرة. يمكن عندها، وفقًا لنظرية القشرة الكروية، إهمال كل السطوح القشرية ذات الأقطار الأكبر. لذا، تتناسب الكتلة المتبقية







m





{\displaystyle m}



مع









r



3









{\displaystyle r^{3}}



(لأنها تعتمد على الحجم)، وقوة الجاذبية المطبقة عليها تتناسب مع







m



/





r



2









{\displaystyle m/r^{2}}



(قانون التربيع العكسي)، فيكون أثر الجاذبية الكلي متناسبًا مع









r



3







/





r



2





=

r





{\displaystyle r^{3}/r^{2}=r}



، أي مترافقًا خطيًّا مع







r





{\displaystyle r}



.

كانت النتائج مهمة لتحليل نيوتن لحركة الكواكب السيارة؛ لم تكن النتائج بديهية، لكن يمكن إثباتها بالحساب التفاضلي. (كبديل، يوفر قانون غاوس للجاذبية طريقةً أبسط بكثير لإثبات النتائج نفسها).

بالإضافة إلى الجاذبية، يمكن استخدام نظرية القشرة الكروية أيضًا لوصف الحقل الكهربائي الذي تولده كثافة شحنة ساكنة متناظرة كرويًّا، أو بشكل مشابه لأي ظاهرة تتبع لقانون التربيع العكسي (التناسب التربيعي العكسي). تركز الاشتقاقات أدناه على الجاذبية، لكن النتائج يمكن تعميمها بسهولة على القوى الكهربائية الساكنة. بل يمكن تعميمها أيضًا على مسائل أجسام القطوع الكروية العامة.