نظرة عامة شاملة حول نظرية الإجهادات متناهية الصغر

في ميكانيكا المتصل، نظرية الإجهادات متناهية الصغر, يطلق عليها أيضا نظرية التشوه الصغير, نظرية الإزاحة الصغرى, أو نظرية تدرج الإزاحة الصغرى, تتعامل مع التشوهات لجسم متصل. بالنسبة للتشوه المتناهي في الصغر، تكون الإزاحات ووتدرجات الإزاحة صغيرة جدا مقارنة بالوحدة، أي،







‖



u



‖

≪

1









{\displaystyle \|\mathbf {u} \|\ll 1\,\!}



و







‖

∇



u



‖

≪

1









{\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1\,\!}



, سامحة لـ الخطية الهندسية لموتّر لاغرانج محدود الاجهاد









E











{\displaystyle \mathbf {E} \,\!}



, وموتّر أويلر محدود الاجهاد









e











{\displaystyle \mathbf {e} \,\!}



, بعبارة أخرى الحدود الغير خطية أو حدود الرتبة الثانية لموتّر الاجهادالمحدود يمكن إهمالها. تكون موتّرات لاغرانج وأويلر محدودة الانفعال نفسها تقريبا ويمكن تقريبها بـموتّر اجهاد متناهي الصغر أو موتّر اجهاد كوشي,









ε











{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,\!}



. على ذلك،











E



≈



e



≈



ε



=





1

2







(





u





∇



T





+



u



∇



)











{\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \nabla ^{T}+\mathbf {u} \nabla \right)\,\!}





أو











E



K

L





≈



e



r

s





≈



ε



i

j





=





1

2







(





u



i

,

j





+



u



j

,

i







)











{\displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\,\!}





تستخدم نظرية الاجهادات متناهية الصغر في تحليل تشوهات المواد التي تظهر سلوكا مرنا، مثل المواد الموجودة في تطبيقات الهندسة الميكانيكية والمدنية.