في الهندسة الرياضية، نصف قطر الانحناء (R) لمنحنى ما عند نقطة معينة هو قياس نصف قطر القوس الدائري والذي يعتبر أفضل تقريب للمنحنى عند هذه النقطة. حيث أنه معكوس للتقويس (الإنحناء).
في حالة منحنى فراغى، فإن نصف قطر القوس يساوى طول متجه القوس.
اما في حالة منحنى مستوى، فإن نصف قطر القوس يساوى القيمة المطلقة ل
d
s
d
φ
=
1
κ
,
{\displaystyle {\frac {ds}{d\varphi }}={\frac {1}{\kappa }},}
حيث s هو طول القوس من نقطة مثبتة على المنحنى، و φ هي الزاوية المماسية و
κ
{\displaystyle \kappa }
هو الانحناء.
إذا كان المنحنى المعطى بالإحداثيات الديكارتية (الكارتيزية) مثل (y(x، فإن نصف قطر القوس يكون (بفرض أن المنحنى تفاضلى للدرجة الثانية)
R
=
|
(
1
+
y
′
2
)
3
/
2
y
″
|
{\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{3/2}}{y''}}\right|}
، حيث:
y
′
=
d
y
d
x
,
y
″
=
d
2
y
d
x
2
{\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}\ ,y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}
، و |z| يعبر عن القيمة المطلقة ل z.
إذا كان المنحنى المعطى بدلالة الدوال (x(t و (y(t، فإن نصف قطر القوس يكون
R
=
|
d
s
d
φ
|
=
|
(
x
˙
2
+
y
˙
2
)
3
/
2
x
˙
y
¨
−
y
˙
x
¨
|
{\displaystyle R=\;\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|\;=\;\left|{\frac {{\big (}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{\big )}^{3/2}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}
، حيث:
x
˙
=
d
x
d
t
,
x
¨
=
d
2
x
d
t
2
,
y
˙
=
d
y
d
t
,
y
¨
=
d
2
y
d
t
2
{\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},\quad {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},\quad {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}
وبالتجربة، فإنه يمكن تفسير هذه التجربة كالتالي:
R
=
|
v
|
3
|
v
×
v
˙
|
,
where
|
v
|
=
|
(
x
˙
,
y
˙
)
|
=
R
d
φ
d
t
.
{\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}},\qquad {\mbox{where}}\quad \left|\mathbf {v} \right|=\left|({\dot {x}},{\dot {y}})\right|=R{\frac {d\varphi }{dt}}.}