معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function )
H
(
t
,
q
,
p
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)}
هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها . وهي معادلة تعتمد على الزمن
t
{\displaystyle t}
و إحداثيات الوضع
q
=
(
q
1
,
q
2
…
q
n
)
{\displaystyle q=(q_{1},q_{2}\dots q_{n})}
و زخم الحركة لكل الجسيمات
p
=
(
p
1
,
p
2
…
p
n
)
{\displaystyle p=(p_{1},p_{2}\dots p_{n})}
.
عند دراسة حركة جسيم كتلته
m
{\displaystyle m}
يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي : إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:
H
(
t
,
q
,
p
)
=
p
2
2
m
+
V
(
q
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {q} )}
أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:
E
2
−
p
2
c
2
=
m
2
c
4
{\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}}
حيث c سرعة الضوء ,
وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :
H
(
t
,
q
,
p
)
=
m
2
c
4
+
p
2
c
2
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}\,.}
في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة.