الدليل الشامل لـ معادلة شرودنغر-نيوتن

معادلة شرودنغر-نيوتن (Schrödinger–Newton equations) هي إدخال تعديلات على معادلة شرودنغر من قانون غاوس للجاذبية ,

اقترحها روجر بنروز في كتاب The Road to Reality تصف رياضيا المستويات الأساسية المشاركة في الجذب والناتجة عن انهيار الدالة الموجية:









i

ℏ







∂

Ψ





∂

t







=

−







ℏ



2







2

m









∇



2





Ψ

+

V

Ψ

+

m

Φ

Ψ





{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi +m\Phi \Psi }













∇



2





Φ

=

4

π

G

ρ



|



Ψ





|





2









{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho |\Psi |^{2}}





عندما تكون طاقة نيوتن شبه الكامنة







Φ





{\displaystyle \Phi }











Φ

(



x



,

t

)

=

−

G



∫





















ρ



|



Ψ

(



y



,

t

)





|





2











|





x



−



y





|













d



3







y







{\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=-G\int _{}^{}{\frac {\rho |\Psi (\mathbf {y} ,t)|^{2}}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,d^{3}\mathbf {y} }











ρ





{\displaystyle \rho }



كثافة الكتلة الكلاسيكية

توضح هذه المعادلة أن الطاقة الكامنة والعزم هي كميات محفوظة ,كما تتذبذب نقطة التماثل الوهمية ويتغير طور الموجه خلال الزمن.