في الرياضيات ، المتسلسة المتداخلة هي متسلسة، تكتب على شكل
t
n
{\displaystyle t_{n}}
بحيث
t
n
=
a
n
−
a
n
+
1
{\displaystyle t_{n}=a_{n}-a_{n+1}}
، أي الفرق بين عددين متتاليتين في المتتالية
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
.
نتيجة لذلك ، تتكون المجاميع الجزئية فقط من عبارتين من المتتالية
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
بعد أن يلغيا بعضهما.
على سبيل المثال ، المتسلسلة :
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}
(مجموع مقلوبات الأعداد البرونية ) يمكن أن تبسط كالآتي :
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
lim
N
→
∞
∑
n
=
1
N
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
lim
N
→
∞
[
(
1
−
1
2
)
+
(
1
2
−
1
3
)
+
⋯
+
(
1
N
−
1
N
+
1
)
]
=
lim
N
→
∞
[
1
+
(
−
1
2
+
1
2
)
+
(
−
1
3
+
1
3
)
+
⋯
+
(
−
1
N
+
1
N
)
−
1
N
+
1
]
=
lim
N
→
∞
[
1
−
1
N
+
1
]
=
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}