كل ما تريد معرفته عن مبرهنة عوامل متعددات الحدود

في الجبر ، تربط مبرهنة عوامل متعددات الحدود (بالانجليزية : Factor theorem) أو مبرهنة قابلية القسمة عوامل دالة متعددة الحدود بجذور (اصفار) دالة متعددة الحدود.. على وجه التحديد، إذا كانت







f

(

x

)





{\displaystyle f(x)}



هي دالة متعددة الحدود، اذن







x

−

a





{\displaystyle x-a}



هو عامل للدالة







f

(

x

)





{\displaystyle f(x)}



إذا وفقط إذا كان







f

(

a

)

=

0





{\displaystyle f(a)=0}



(







a





{\displaystyle a}



هو جذر متعددة الحدود). هذه المبرهنة هي حالة خاصة من مبرهنة البواقي .

وتتكون المبرهنة نتيجة للخصائص الأساسية للجمع والضرب. ويترتب على ذلك أن المبرهنة تنطبق أيضًا على المعاملات والجذر







a





{\displaystyle a}



داخل أي حلقة تبادلية ، وليس الحقل فقط .

على وجه الخصوص، بما أنه يمكن اعتبار كثيرات الحدود متعددة المتغيرات أحادية المتغير في أحد متغيراتها، فإن التعميم التالي ينطبق : إذا كانت







f

(



X



1





,

…

,



X



n





)





{\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}



و







g

(



X



2





,

…

,



X



n





)





{\displaystyle g(X_{2},\ldots ,X_{n})}



دوال متعددة الحدود ذات متغيرات متعددة و







g





{\displaystyle g}



مستقلة عن









X



1









{\displaystyle X_{1}}



، اذن









X



1





−

g

(



X



2





,

…

,



X



n





)





{\displaystyle X_{1}-g(X_{2},\ldots ,X_{n})}



هو عامل من







f

(



X



1





,

…

,



X



n





)





{\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}



إذا وفقط إذا







f

(

g

(



X



2





,

…

,



X



n





)

,



X



2





,

…

,



X



n





)





{\displaystyle f(g(X_{2},\ldots ,X_{n}),X_{2},\ldots ,X_{n})}



متعدد حدود صفري.