نظرة عامة شاملة حول مبرهنة الجذر النسبي

في الجبر، مبرهنة الجذر النسبي (بالإنجليزية: Rational root theorem) هي مبرهنة تتعلق بالحلول الجذرية لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة.

لتكن المعادلة الحدودية











a



n







x



n





+



a



n

−

1







x



n

−

1





+

⋯

+



a



0





=

0





{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0}





حيث المعاملات أعداد صحيحة (









a



i





∈



Z







{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }



) وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر (









a



0





,



a



n





≠

0





{\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}



).

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم









a



0









{\displaystyle a_{0}}



و q عدد صحيح يقسم معامل









a



n









{\displaystyle a_{n}}



.

من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال









a



n





=

1





{\displaystyle a_{n}=1}



.