أبعاد خفية في مبرهنة التباعد

في تحليل المتجهات، تحقق مبرهنة التباعد (وتسمى أيضًا مبرهنة غاوس أو مبرهنة أوستروغرادسكي) المساواة بين تكامل تباعد حقل متجهي على الحجم في











R





3









{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}



وتدفق هذا الحقل عبر حدود الحجم (وهو التكامل السطحي).

المساواة هي على النحو التالي:







∫











∫













∫





V











∇

→





⋅





F

→







d

V

=

∫















⊂







⊃

















∫



∂





V













F

→





⋅

d





S

→









{\displaystyle \int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}\,dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}{\overrightarrow {F}}\cdot d{\overrightarrow {S}}}





حيث :













V











{\displaystyle {\mathcal {V}}\,}



هو الحجم









∂





V











{\displaystyle \partial {\mathcal {V}}\,}



هي حدود











V









{\displaystyle {\mathcal {V}}}











d





S

→









{\displaystyle d{\overrightarrow {S}}}



هو المتجه العمودي على السطح، موجه للخارج ومعياره يساوي العنصر السطحي الذي يمثله













F

→









{\displaystyle {\overrightarrow {F}}}



هو حقل متجهي قابل للاشتقاق باستمرار في أي نقطة من











V









{\displaystyle {\mathcal {V}}}



.













∇

→









{\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}}



هو المؤثر نابلا؛











∇

→





⋅





F

→





=



d

i

v









F

→









{\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}=\mathrm {div} \ {\overrightarrow {F}}}





هذه المبرهنة تتبع مبرهنة ستوكس التي في حد ذاتها، تعمم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل .