استكشف روعة قائمة مجسمات جنسون

في الهندسة الرياضية، تُسمَّى متعددات الوجوه المحدبة التي تكون وجوهها مُضلَّعات مُنتظمة بمجسمات جُنسون (بالإنجليزية: Johnson solids)، كما يُشار إليها أحيانًا بمجسمات جُنسون وزَلغَلر (بالإنجليزية: Johnson–Zalgaller solids). يُوسِّع بعض الرياضياتين هذا التعريف ليستثني من هذا التعريف متعددات الوجوه المُحتَتِن، أي التي تكون رؤوسها متناظرة بعضها بالنسبة لبعض، وتشمل هذه المتعددات المحتتنة: المجسمات الأفلاطونية والأرخميدية والمواشير والمواشير التخالفية. سُميت هذه المُجسَّمات على اسم الرياضياتي الأمريكي نورمن جنسون (1930-2017) الذي وصفها للمرة الأولى سنة 1966م في مقالة بحثية سرد فيها قائمة من 92 مُجسَّمًا. حَدَس جُنسون بأن قائمته كاملة وبأنه لا يوجد متعددات وجوه أخرى تحقق هذا التعريف خارجها، وهو ما أثبته الرياضياتي الروسي الإسرائيلي فكتور زَلغلَر (1920–2020) سنة 1969م.

يُصنَّف 17 مجسَّمًا من مجسمات جنسون ضمن المجسم الابتدائية، أي لا يمكن إنتاج متعددات وجوه محدبة لها وجوه منتظمة أبسط منها بقطعها بمستوٍ. تستوفي المجسمات الستة الأولى في القائمة هذا المعيار وهي:

الهرم المُربَّع متساوي الحروف والهرم المُخمَّس متساوي الحروف والقبة المُثلَّثة والقبة المُربَّعة والقبة المُخمَّسة والطارِمة المُخمَّسة. كما يلبي هذه المعايير أحد عشر مجسمًا آخر من مجسمات جونسون: عشروني الوجوه ثلاثي البخس

وذو الوجوه الاثنا عشري العشروني المعيني ثنائي البخس التقابلي

وذو الوجوه الاثنا عشري العشروني المعيني ثلاثي البخس

والإسفيناني الثنائي الأفطس

والموشور التخالفي المربع الأفطس

والإسفيني المُتوَّج

والإسفيني عظيم التاج

والإسفيني الكليل عظيم التاج

والمُحزَّم ثنائي الإسفينية

وثنائي الطارمة ذو الهلالين

والطارمة الإسفينية الكليلة المثلثة. سائر مجسمات جنسون ليست ابتدائية، ويمكن إنشاؤها بتطبيق عمليات عديدة على المجسمات الستة الأولى والمجسمات الأرخميدية والأفلاطونية. هذه العمليات هي:



التعزيز، أي لصق مُجسَّم، من مُجسَّمات جنسون الستة الأولى، على وجه واحد على الأقل لمتعدد وجوه آخر.

الإطالة، أي لصق مُجسَّم، من مُجسَّمات جنسون الستة الأولى، على قاعدة موشور.

الإطالة بالبرم،، أي لصق مُجسَّم، من مجسمات جنسون الستة الأولى، على قاعدة موشور تخالفي.

البخس،، وهو عكس التعزيز، أي إزالة مُجسَّم من مُجسَّمات جنسون الستة الأولى، من وجوه متعدد وجوه واحد على الأقل.

يضم الجدول 92 سطرًا، خصص كلٌّ منها لمجسم واحد مميز بمعرِّف هو









J



n









{\displaystyle J_{n}}



، يُمثِّل







a





{\displaystyle a}



طول حرفِه. ويَشمُل أيضًا رؤوس المجسم وحروفه ووجوهه بالإضافة إلى زمرة تناظره ورتبتها، ومساحة سطحه







A





{\displaystyle A}



وحجمه







V





{\displaystyle V}



. لكل متعدد وجوه محدداته الخاصة، التي تشمُل تناظره إلى جانب مقاساته. يُقال عن غرض ما بأنه متناظر، إذا وجد تحويل يَقرُنه مع نفسه. يُمكن أن تُؤَلِّف التحويلات زمرة، لها مرتبة وعدد عناصر محدد. تشمُل هذه التحويلات:



في الفضاء ثنائي البعد، التدوير التناظري حول مركز المُضلَّع والانعكاس التناظري على طرفي منصف للمضلع عمودي على أحد أضلاعه. يُرمَز للمضلع الذي يُدار تناظريًا حول مركزه بمقدار













360



∘





n









{\textstyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}



درجة بالرمز









C



n









{\textstyle C_{n}}



، وهي زمرة دورية مرتبتها







n





{\textstyle n}



، يمكن إنتاج زمرة زوجية









D



n









{\displaystyle D_{n}}



مرتبتها







2

n





{\displaystyle 2n}



بتجميع الزمرة الدورية السابقة مع انعكاسها التناظري.

في الزمر النقطية ثلاثية الأبعاد، تشمل التحويلات التي تحافظ على تناظر متعدد الوجوه الدوران حول مستقيم يمر من مركز القاعدة، والذي يُسمَّى أيضًا التناظر المحوري، والانعكاس بالنسبة لمستويات معامدة للقاعدة ومنصفة لها، وهذا يُسمَّى أيضًا تناظرًا هرميًا، ويكون رمز الزمرة









C



n



v











{\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}



ومرتبتها







2

n





{\displaystyle 2n}



. تشمُل التحويلات التي تحافظ على تناظر متعدد الوجوه انعكاسه عن مستوي أفقي، وهو ما يعرف بالتناظر الموشوري، ويكون رمز الزمرة









D



n





h





{\displaystyle D_{n}h}



ومرتبتها







4

n





{\displaystyle 4n}



. أما التناظر الموشوري التخالفي،، فيكون بتدوير القاعدة نصف دورة، ثم عكسها بالنسبة لمستوي أفقي، ويكون رمز الزمرة









D



n





d





{\displaystyle D_{n}d}



ومرتبتها







4

n





{\displaystyle 4n}



. بالإضافة لذلك، يمكن الحفاظ على تناظر متعدد الوجوه بتدويره حول محور التناظر وعكسه على مستوي أفقي، ويكون رمز الزمرة









C



n





h





{\displaystyle C_{n}h}



ومرتبتها







2

n





{\displaystyle 2n}



. وبتدويره دورة كاملة كذلك، ويكون رمز الزمرة عندها









C



1





h





{\displaystyle C_{1}h}



ويُشار له غالباً









C



s









{\displaystyle C_{s}}



ومرتبتها







2





{\displaystyle 2}



.

تشمُل قياسات متعددات الوجوه مِساحة السطح والحجم. المِساحة قياسٌ ثنائي البعد، تُحسَب بجُداء الطول بالعرض، أما مساحة سطح متعدد الوجوه، فهي مجموعة مساحات كل وجوه. أما الحجم، فهو قياسٌ ثلاثي الأبعاد، ويمكن تحديد حجم متعدد وجوه بطرقٍ متعددة، إما اعتمادًا على القاعدة والعامد، كما هو حال الأهرام والمواشير، أو بتقسيم المتعدد إلى متعددات وجوه أبسط وجمع حجومها، أو بإيجاد جذر متعددة الحدود التي تُمثِّل متعدد الوجوه.