كل ما تريد معرفته عن علم الحساب الهندسي

علم الحساب الهندسي هو علم يجمع بين مجالين علميين لكل من الرياضيات هما مجال الأنظمة الهندسية (الديناميكية) ونظرية علم الحساب (الأعداد).

تاريخيًا، يشير المفهوم إلى دراسة العمليات الحسابية المنفصلة (خارج إطار التفاعل الحسابي)، من وجهة نظر إعادة تشكّل الأشكال الهندسية الذاتية للمستوى المركب، (أو ما اصطلح على تسميته z-plan)، إلى جانب دراسة مسار الأعداد الحقيقية. من هذا المنطلق، يعرف علم الحساب الهندسي بأنه دراسة الخصائص النظرية العددية للنقاط الصحيحة، والأعداد التقاربية (p-adic) ، مع/ بدون النقاط الجبرية (algebraic points) التي من خلالها تطبّق خاصية التضاعف لدالة قابلة للتعدّد (polynomial) أو منسجمة في ذاتها (rational function). مما يستدعي الهدف الأساسي للعملية الحسابية وهو وصف الخصائص الحسابية بناءً على النماذج الهندسية الأوّلية.

بشكل عام، يعرّف علم الحساب الهندسي بأنه دراسة متناظرات المعادلات الهندسية الديوفانتينية (نسبة إلى عالِم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس)، التقليدية من خلال صياغة نماذج حسابية منفصلة.

أما على المستوى الخاص، أو ما يطلق عليه العمليات الحسابية p-adic (عدد تقاربي) أو nonarchimedean (نسبة إلى أرخميدس)، فهي هندسيات تناظرية للعمليات الحسابية التقليدية حيث يمكن للمرء استبدال الأعداد المركبة (C) من خلال نظرية الأعداد التقاربية (p-adic) مما ينتج عنه عدد تقاربي مركّب بتردّد (p)

على سبيل المثال: (Qp) أو(Cp).

بالإضافة إلى أن العملية الحسابية تقوم بتفسير مفهوم التفاعل غير المنتظم، وهندسيات Fato و Julia (نسبة لعالمي الرياضيات الفرنسيين Pierre Fato و Gaston Julia).

يصف الجدول التالي التطابق التقريبي بين معادلات ديوفانتين والعمليات الحسابية، لاسيما من خلال ربط الديوفانتينية مع نظرية التصنيفات الآلبينية (نسبة إلى عالم الرياضيات البرازيلي-الإيطالي: Giacomo :)Albanese