في الرياضيات، صيغة فاولابر، المسماة على اسم جوهان فاولابر، تعبر عن مجموع قوى الأعداد الطبيعية n الأولى من الدرجة p:
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
2
p
+
3
p
+
⋯
+
n
p
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}
بأنه متعددة للحدود متغيرها n، ذات الدرجة (p + 1) والتي تدخل في معاملاتها أعداد بيرنولي.
أعداد بيرنولي غالبا بالاصطلاح العام هُن:
B
0
=
1
,
B
1
=
−
1
2
,
B
2
=
1
6
,
B
3
=
0
,
B
4
=
−
1
30
,
…
{\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=-{1 \over 2},\quad B_{2}={1 \over 6},\quad B_{3}=0,\quad B_{4}=-{1 \over 30},\quad \dots }
حيث
B
1
=
1
2
{\displaystyle B_{1}={1 \over 2}}
بدلا من
−
1
2
{\displaystyle -1 \over 2}
ولكن للوهلة التي نتبع فيها اصطلاحا قد لا يبدوا مألوفا، بأن B1 = +1/2, وجميع أعداد بيرنولي الأخرى تظل كما هي أعلاه (ولكن انظر الأسفل للمزيد حول هذا الموضوع).
تنص الصيغة أن
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}}
(المعامل j يعمل فقط حتى p، وليس حتى p + 1).
لم يعلم فاولابر أن الصيغة بهذا الشكل. كان على الأقل قد عرف الـ17 حالة الأولى والحقيقة القائلة بأنه عندما يكون الأس فرديا، فإن المجموع يصبح كثيرة حدود للمجموع في الخالة الخاصة حين يكون الأسis 1، كما كان أيضا قد علم ببعض التعميمات الجديرة بالملاحظة.
اشتقاق صيغة فاولابر متوفر في كتاب الأرقام (The Book of Numbers) لـجون هورتون كونوي ورتشارد غاي.