في المنطق والرياضيات، الشرطاني المنطقي أو ثنائي الشرطية المنطقي، المعروف أيضًا باسم الشرطاني/ثنائي الشرطية المادي أو التكافؤ أو الاقتضاء/الاستلزام الثنائي، هو الرابط المنطقي المستخدم لربط العبارتين
P
{\displaystyle P}
و
Q
{\displaystyle Q}
لتشكيل العبارة "
P
{\displaystyle P}
إذا وفقط إذا كان
Q
{\displaystyle Q}
"، وفيها
P
{\displaystyle P}
يُعرف باسم المُقَدَّم، و
Q
{\displaystyle Q}
التالي.
تتضمن الرموز المستخدمة لتمثيل التكافؤ في الوقت الحاضر ما يلي: ⇔، و↔ و≡.
P
↔
Q
{\displaystyle P\leftrightarrow Q}
مكافئ منطقيًا لكل من
(
P
→
Q
)
∧
(
Q
→
P
)
{\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)}
و
(
P
∧
Q
)
∨
(
¬
P
∧
¬
Q
)
{\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}
، والمؤثر المنطقي الفصل الإقصائي المنفي (XNOR)، الذي يعني "كلاهما أو لا شيء".
من الناحية الدلالية، الحالة الوحيدة التي يختلف فيها الشرطاني المنطقي عن الشرطي المادي هي الحالة التي تكون فيها الفرضية (المقدم) باطلة ولكن الاستنتاج (النتيجة) صائب. في هذه الحالة، يكون الناتج صائب بالنسبة للشرطي، ولكنه باطل بالنسبة للشرطاني.
في التفسير المفاهيمي، P = Q تعني "جميع P هي Q وجميع Q هي P ". بعبارة أخرى، المجموعتان P و Q متطابقتان. ومع ذلك، هذا لا يعني أن P و Q يجب أن يكون لهما نفس المعنى (على سبيل المثال، يمكن أن تكون P "ثلاثي الأضلاع (مثلث) متساوي الزوايا" ويمكن أن تكون Q "ثلاثي الزوايا (مثلث) متساوي الأضلاع"). عند صياغتها في جملة، فإن المقدم هو موضوع قضية تأكيدية شاملة والتالي محمولها (على سبيل المثال، في العبارة "كل الرجال فانون"، "الرجال" هو الموضوع و"الفانون" هو المحمول).
في التفسير القضيوي،
P
↔
Q
{\displaystyle P\leftrightarrow Q}
يعني أن P يقتضي Q وأن Q يقتضي P؛ بعبارة أخرى، تكون القضايا متكافئة منطقيًا، بمعنى أن كلاهما إما صائبان معاً أو باطلان معاً. مرة أخرى، هذا لا يعني أنهما يجب أن يكون لهما نفس المعنى، حيث يمكن أن يكون P "المثلث ABC له ضلعان متساويان" ويمكن أن يكون Q "المثلث ABC له زاويتان متساويتان". المقدم عمومًا هو "الفرضية" أو "السبب"، والتالي هو "النتيجة". عندما يُترجَم الاقتضاء إلى حُكْم "فرضي" (أو "شرطي")، يسمى المقدم الفرضية (أو الشرط) ويسمى التالي الأطروحة.
طريقة شائعة لإثبات الشرطاني من الشكل
P
↔
Q
{\displaystyle P\leftrightarrow Q}
هي إثبات أن
P
→
Q
{\displaystyle P\rightarrow Q}
و
Q
→
P
{\displaystyle Q\rightarrow P}
بشكل منفصل (نظرًا لتكافؤه مع عطف الشرطيّين العكسيين). وتوجد طريقة أخرى لإثبات نفس الشرطاني وهي إثبات أن
P
→
Q
{\displaystyle P\rightarrow Q}
و
¬
P
→
¬
Q
{\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}
.
عندما يكون كلا عنصري الشرطاني قضيتين، يمكن فصلهما إلى شرطيّين، أحدهما يسمى "مبرهنة" والآخر يسمى "معكوسها". وعلى هذا، عندما تكون المبرهنة ومعكوسها صائبين، يكون لدينا شرطاني. تنتج المبرهنة البسيطة اقتضاءًا، يكون مقدمته هي "الفرضية" ونتيجته "أطروحة" المبرهنة.
غالبًا ما يقال إن الفرضية هي "الشرط الكافي" للأطروحة، وأن الأطروحة هي الشرط اللازم للفرضية. أي أنه يكفي أن تكون الفرضية صائبة لكي تكون الأطروحة صائبة، في حين أنه من الضروري أن تكون الأطروحة صائبة إذا كانت الفرضية صائبة. عندما يكون المبرهنة ومعكوسها صائبين، يُقال إن الفرضية هي الشرط الضروري والكافي للأطروحة. أي أن الفرضية هي في الوقت نفسه سبب الأطروحة ونتيجتها.