إتقان موضوع دوال زائدية

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية (بالإنجليزية: Hyperbolic functions) في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t , sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t , sinh t) النصف الأيمن من القطع الزائد.

تظهر الدوال الزائدية في حلول العديد من المعادلات التفاضلية الخطية (على سبيل المثال، المعادلة التي تحدد سلسلي)، وبعض المعادلات التكعيبية، في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية، ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية. تعتبر معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية، ونقل الحرارة، وجريان الموائع، والنسبية الخاصة.

تشكل الدوال الآتية الأساس في الدوال الزائدية:



الجيب الزائدي ويُرمز لها بـ sinh أو sh

جيب التمام الزائدي ويُرمز لها بـ cosh أو ch

والدوال المشتقة منهما هن:



الظل الزائدي ويُرمز لها بـ tanh أو th

ظل التمام الزائدي ويُرمز لها بـ coth

القاطع الزائدي ويُرمز لها بـ sech

قاطع التمام الزائدي ويُرمز لها بـ csch

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:



معكوس الجيب الزائدي ويُرمز لها بـ arsinh أو argsh

معكوس جيب التمام الزائدي ويُرمز لها بـ arcosh أو argch

... وهكذا.

تأخذ الدوال الزائدية مدخل حقيقي يسمى الزاوية الزائدية. مقدار الزاوية الزائدية ضعف مساحة قطاعها الزائدي. يمكن تعريف الدوال الزائدية بدلالة ساقي المثلث القائم الذي يغطي هذا القطاع.

في التحليل المركب، تنشأ الدوال الزائدية كأجزاء تخيلية لدالتي الجيب وجيب التمام. الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي دوال كاملة. ونتيجة لذلك، فإن الدوال الزائدية الأخرى دوال جزئية الشكل في المستوي المركب بأكمله.

حسب مبرهنة ليندمان-فايرشتراس، للدوال الزائدية قيمة متسامية لكل قيمة جبرية غير صفرية للمدخل.

أُدخلت الدوال الزائدية في ستينيات القرن الثامن عشر بشكل مستقل من قبل فينتشنزو ريكاتي ويوهان هاينغيش لامبرت. استخدم ريكاتي الترميزات: Sc. و Cc. (sinus/cosinus circulare) للإشارة إلى الدوال الدائرية (المثلثية) و Sh. و Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) للإشارة إلى الدوال الزائدية. اعتمد لامبرت الأسماء لكنه غير الاختصارات إلى تلك المستخدمة اليوم. تستخدم حاليًا الاختصارات sh و ch و th و cth بناءً على التفضيل الشخصي.