لماذا يجب أن تتعلم عن دالة زيتا لريمان

دالة زيتا لريمان (اِقْتِرانُ ريمان الزَّائِيُّ حسب مجمع اللغة العربية بالقاهرة) وقد تسمى أيضا دالة زيتا لأويلر-ريمان (بالإنجليزية: Riemann zeta function) هي دالة متغيرها عدد عقدي s، تمدد تحليليا مجموع المتسلسلة غير المنتهية









∑



n

=

1





∞









1



n



s









,





{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}



، التي تتقارب حين يكون الجزء الحقيقي للعدد s أكبر قطعا من الواحد. وتلعب دالة زيتا لريمان دورا أساسيا في نظرية الأعداد التحليلية، ولها تطبيقات في الفيزياء ونظرية الاحتمالات والإحصاء التطبيقية.

هاته الدالة في صيغتها حيث المتغير يكون حقيقيا بدلا من مركب، اخترعت ودرست من طرف ليونهارد أويلر في النصف الأول من القرن الثامن عشر، بدون استعمال التحليل العقدي الذي لم يكن موجودا في ذلك الوقت. برنارد ريمان، في كتابه حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما، الذي نُشر في عام 1859، مدد تعريف أويلر إلى الأعداد المركبة، ثم برهن على كونها دالة جزئية الشكل، ووجد معادلة دالية تحققها هاته الدالة، ثم وجد علاقة تربط جذورها بتوزيع الأعداد الأولية.

قيم دالة زيتا لريمان عند الأعداد الطبيعية الزوجية حُسبن من طرف أويلر. أولها هو (ζ (2، أعطى حلحلة لمعضلة بازل. في عام 1979، برهن روجر أبيري على كون (ζ (3 عددا غير جذري. قيم الدالة عند الأعداد الصحيحة السالبة، اللائي حُسبن أيضا من طرف أويلر، هي أعداد جذرية تلعب دورا مهما في نظرية الأشكال النمطية. تعرف حاليا العديد من التعميمات لدالة زيتا لريمان، منها متسلسلة دركليه ودالة دركليه اللامية والدوال اللامية.