حركة جسيم في بعد واحد (بالإنجليزي: Particle in a one-dimensional lattice)
تُناقَش حركةُ الأيونات الموجبة في بعد واحد بافتراض أن البعد بين أيون وآخر يساوي فرق جهد(كمون) في البنية البلورية.
التمثيل الرياضي للكمون هو دالة دورية خلال الفترة a , يتم حلها بواسطة نظرية بلوخ , فيكون حل الدالة الموجية في معادلة شرودنجرهو :
ψ
(
x
)
=
e
i
k
x
u
(
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x).\,\!}
حيث أن :
(u(x دالة دورية بشرط أن :
u
(
x
+
a
)
=
u
(
x
)
{\displaystyle u(x+a)=u(x)\,\!}
نطبق شروط بورن فون - كرمان الحدية عند أطراف الشبكة البلورية , بفرض أن L طول الشبكة بالتالي L >> a وهذا يؤدي إلى أن يكون عدد الأيونات(N) كبير جدا داخل الشبكة بالتالي حركة الأيون تكون خطية وداله الموجية ثابته تقريبا , فيكون لدينا شرط حدي واحد :
ψ
(
0
)
=
ψ
(
L
)
.
{\displaystyle \psi (0)=\psi (L).\,\!}
يمكننا الآن استبدال الحدود استنادا للعلاقة aN = L , وتطبيق نظرية بلوخ ..بالتالي يمكن تكميم العدد الموجي k
ψ
(
0
)
=
e
i
k
⋅
0
u
(
0
)
=
e
i
k
L
u
(
L
)
=
ψ
(
L
)
{\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)\,\!}
u
(
0
)
=
e
i
k
L
u
(
N
a
)
→
e
i
k
L
=
1
{\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(Na)\rightarrow e^{ikL}=1\,\!}
⇒
k
L
=
2
π
n
→
k
=
2
π
L
n
(
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
.
.
.
,
±
N
2
)
.
{\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\rightarrow k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm {N \over 2}\right).\,\!}