من المسائل المهمة في ميكانيكا الكم هي مسألة حركة جسيم في كمون متماثل كرويًا Particle in a spherically symmetric potential ؛ أي جهد يعتمد فقط على المسافة بين الجسيم ونقطة المركز المحددة على وجه الخصوص.
فإذا كان الجسيم المعني عبارة عن إلكترون وكان الكمون potential مشتقا من قانون كولوم ، فيمكن استخدام هذا النظام لوصف ذرة تشبه الهيدروجين . تتكون ذرة الهيروجين من نواة موجبة الشحنة (بروتون) وإلكترون (سالب الشحنة) يدور حولها. بمراعاة أن البروتون أثقل من الإلكترون (نحو 1840 مرة) فيمكن القول أن الإلكترون واقع في كمون النواة ويتحرك فيه؛ مثل جسيم في بئر.
على الرغم من تجاذب الإلكترون والبروتون بسبب شحنتيهما المختلفة فإن الإلكترون لا يسقط على البروتون ؛ بل يبقى في مدارات حول النواة .
حاول العلماء في بداية الأمر استخدام الميكانيكا الكلاسيكية في التعامل مع هذا النظام الغريب ، وفشلت كل المحاولات . مشكلة عدم سقوط الإلكترون على النواة الذرية اقتضت ابتكار ميكانيكا جديدة وهي ميكانيكا الكم. بواسطة ميكانيكا الكم نجح العلماء في تفسير سلوك الإلكترون في ذرة الهيدروجين. كان ذلك خلال الأعوام 1920 - 1928 على يد العلماء هايزنبرغ و شرودنغر و نيلز بوهر وغيرهم.
في الحالة العامة المستقلة عن الزمن، ديناميكية الجسيم في كمون متناظر كروي ، تصفها
معادلة هاملتون على الشكل التالي:
H
^
=
p
^
2
2
m
0
+
V
(
r
)
{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V(r)}
حيث:
m
0
{\displaystyle m_{0}}
كتلة الجسيم (إلكترون) ،
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
هو زخم الإلكترون.
والكمون
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
يعتمد فقط على
r
{\displaystyle r}
؛ إنه متجه نصف قطر r مدار الإكترون حول النواة .
بالاستعانة بمعادلة شرودنغر طبقا لـ ميكانيكا الكم في حل مسألة حركة الإلكترون حول النواة الذرية (من دون الانهيار عليها) ، تم تعيين مستويات طاقة الإلكترون المتطابقة في الذرة. تلك المستويات تسمى (القيم الذاتية eigen values ) لأن الإلكترون يتخذ طاقات كمومية محددة.
من خلال حل معادلة شرودنغر مع هاملتوني بسبب التناظر الكروي للنظام. ومن الطبيعي تم استخدام الإحداثيات الكروية
r
{\displaystyle r}
و
θ
{\displaystyle \theta }
و
ϕ
{\displaystyle \phi }
في حل تلك المسألة .
أمكن فصل معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن في النظام، مما يسمح بمعالجة المشاكل الزاوية بسهولة، وتتبع حل معادلة تفاضلية عادية تعتمد فقط على المكان
r
{\displaystyle r}
للإلكترون في تحديد مستويات طاقته حول النواة الذرية الموصوف بالكمون
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
الذي لا يعتمد على الزمن.
في الشكل يمثل المحور الرأسي طاقة الإلكترون ، مستويات طاقة الإلكترون في الذرة تكون سالبة (أقل من الصفر) ، فإذا زادت طاقة الإلكترون بحيث تعلو عن الصفر يصبح الإلكترون حرا طليقا وينفصل عن الذرة. رمز طاقة الألكترون هي p (زخم الإلكترون) أو E .