الجاذبية الخطية أو تقريب الحقول الثقالية الضعيفة هي صياغة تقريبة في إطار نظرية النسبية العامة، تُستخدم لدراسة الظواهر الثقالية عندما يكون انحناء الزمكان صغيرًا، وتكون الانحرافات عن متريّة مينكوفسكي محدودة. في هذا النطاق يمكن تبسيط معادلات أينشتاين الحقلية غير الخطية عبر تطبيق نظرية الاضطرابات، وذلك بتمثيل المتريّة العامة على صورة متريّة خلفية مسطّحة مضافًا إليها اضطراب صغير.
يُعد هذا التقريب أداة أساسية لفهم عدد من النتائج الفيزيائية المهمة، مثل الحد النيوتني للجاذبية، وحركة الجسيمات على الجيوديسيات في الحقول الضعيفة، وكذلك انتشار الموجات الثقالية في الفراغ. كما يسمح هذا الإطار بالربط بين الصياغة الهندسية للنسبية العامة والتوصيف الكلاسيكي للجاذبية من خلال تفسير بعض مركبات المتريّة بدلالة الجهد الثقالي.
يعتمد هذا النهج على افتراض أن المتريّة يمكن كتابتها على الشكل:
g
μ
ν
=
η
μ
ν
+
h
μ
ν
,
|
h
μ
ν
|
≪
1
{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1}
حيث تمثل
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}
متريّة الزمكان المسطّح، ويمثل
h
μ
ν
{\displaystyle h_{\mu \nu }}
اضطرابًا صغيرًا ناتجًا عن وجود المادة والطاقة. وضمن هذا التقريب تصبح معادلات أينشتاين خطية من الدرجة الثانية في مركبات الاضطراب، مع احتفاظها بتناظرها تحت التحويلات الإحداثية الصغيرة (تناظر العيار).
الجاذبية الخطية أو تقريب الحقول الثقالية الضعيفة هي صياغة تقريبة في إطار نظرية النسبية العامة، تُستخدم لدراسة الظواهر الثقالية عندما يكون انحناء الزمكان صغيرًا، وتكون الانحرافات عن متريّة مينكوفسكي محدودة. في هذا النطاق يمكن تبسيط معادلات أينشتاين الحقلية غير الخطية عبر تطبيق نظرية الاضطرابات، وذلك بتمثيل المتريّة العامة على صورة متريّة خلفية مسطّحة مضافًا إليها اضطراب صغير.
يعتمد هذا النهج على افتراض أن المتريّة يمكن كتابتها على الشكل:
g
μ
ν
=
η
μ
ν
+
h
μ
ν
,
|
h
μ
ν
|
≪
1
{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1}
حيث تمثل
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}
متريّة الزمكان المسطّح، ويمثل
h
μ
ν
{\displaystyle h_{\mu \nu }}
اضطرابًا صغيرًا ناتجًا عن وجود المادة والطاقة. وضمن هذا التقريب تصبح معادلات أينشتاين خطية من الدرجة الثانية في مركبات الاضطراب، مع احتفاظها بتناظرها تحت التحويلات الإحداثية الصغيرة (تناظر العيار).
R
μ
ν
=
1
2
(
∂
σ
∂
μ
h
ν
σ
+
∂
σ
∂
ν
h
μ
σ
−
∂
μ
∂
ν
h
−
◻
h
μ
ν
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }\right)}
R
=
∂
μ
∂
ν
h
μ
ν
−
◻
h
{\displaystyle R=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h}
G
μ
ν
=
R
μ
ν
−
1
2
R
g
μ
ν
=
1
2
(
∂
σ
∂
μ
h
ν
σ
+
∂
σ
∂
ν
h
μ
σ
−
∂
μ
∂
ν
h
−
◻
h
μ
ν
−
η
μ
ν
∂
ρ
∂
λ
h
ρ
λ
+
η
μ
ν
◻
h
)
{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h\right)}
يمكن حل هذه المعادلات ضمن تناظر العيار (Gauge invariance)، إذ أن اختيار الإحداثيات لا يغيّر النظام الفيزيائي الذي تصفه مركبات
h
μ
ν
{\displaystyle h_{\mu \nu }}
طالما بقيت صغيرة.