ثابت أوميجا هو ثابت رياضي يُشار إليه بالحرف اليوناني أوميجا ، والذي ينص على:
Ω
e
Ω
=
1
{\displaystyle \Omega \,e^{\Omega }=1\,}
قيمة الثابت بالتقريب هي: ...0.5671432904097838729999686622. انه يحقق المعادلات
e
−
Ω
=
Ω
{\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega \,}
وأيضًا
ln
Ω
=
−
Ω
{\displaystyle \ln \Omega =-\Omega \,}
.
وفقًا للرسمتين البيانيتين للدالتين
e
x
{\displaystyle e^{x}}
و
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
. عند نقطة تقاطعهما، إحداثي
x
{\displaystyle x}
هو ثابت أوميغا.
هذا الثابت هو الحل الوحيد لـ (1)W حيث أن W هي دالة W لامبرت . اسمها مشتق من الاسم الآخر لهذه الدالة وهو دالة أوميغا.
يمكن بناء ثابت أوميغا بشكل متكرر من خلال سلسلة من التقريبات التي تبدأ عند Ω0 معيّن وتستوفي الشرط:
Ω
n
+
1
=
e
−
Ω
n
{\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}\,}
تتقارب السلسلة إلى ثابت أوميغا عندما يقترب n إلى ما لا نهاية . يتم الحفاظ على الحد لأن ثابت أوميغا هو "نقطة ثابتة" للدالة
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
.
البناء الأكثر فعالية هو
Ω
n
+
1
=
1
+
Ω
n
1
+
e
Ω
n
{\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}}
لأن الدالة
f
(
x
)
=
1
+
x
1
+
e
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}}}
هناك نفس "النقطة الثابتة"، ولكن في هذه النقطة تكون المشتقة تساوي 0، وبالتالي فإن السلسلة تميل إلى الحد بشكل أسرع بكثير (يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا في كل تكرار).
ثابت أوميغا يحافظ على الُمتَطابِقَة:
Ω
=
1
∫
−
∞
∞
d
x
(
e
x
−
x
)
2
+
π
2
−
1
{\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\,}