نظرة عامة شاملة حول تكامل ناقصي

في الحساب التكاملي، نشأت التكاملات الناقصية أو التكاملات الإهليلجية (بالإنجليزية: Elliptic integral) في الأصل فيما يتعلق بمشكلة إيجاد طول قوس من القطع الناقص. تم دراستها لأول مرة من قبل جوليو فاغنانو وليونهارت أويلر (حوالي 1750). تعرف الرياضيات الحديثة «التكامل الإهليلجي» على أنه أي دالة f يمكن التعبير عنها على شكل:









f

(

x

)

=



∫



c





x





R



(



t

,





P

(

t

)







)







d



t

,





{\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,\mathrm {d} t,}





حيث R هي دالة كسرية ذات متغيرين، و P هي متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة بدون جذور متكررة، و c هو ثابت.

عمومًا، لا يمكن التعبير عن التكاملات في هذا الشكل بدلالة الدوال الابتدائية. الاستثناءات لهذه القاعدة العامة هي عندما يكون لـ P جذور متكررة، أو عندما لا تحتوي R (x, y) على قوى فردية لـ y.