تفاضل كامل أو المشتقة الكاملة في الرياضيات (بالإنجليزية: total derivative) وبصفة خاصة في حساب التفاضل وهو يختص بتفاضل دالة تعتمد علي عدة متغيرات. فإذا كان لدينا دالة f تعتمد على المتغيرات مثلا t,x,y وغيرها فإن المشتقة الكاملة للدالة f بالنسبة إلى أحد المتغيرات مثل t تكون مختلفة عن المشتقة الجزئية. بحساب التفاضل الكامل للدالة f بالنسبة إلى t لا نعتبر أن المتغيرات الأخرى ثابتة أثناء تغير t ، وإنما تسمح للمتغيرات الأخرى x,y أن تتغير بالنسبة إلى t. وتأخذ المشتقة الكاملة أعتماد المتغيرات فيما بينها في الحسبان للحصول على التغير الكامل للدالة f على t.
فعلى سبيل المثال، يكون التفاضل الكامل للدالة (f(t,x,y بالنسبة إلى t كالآتي:
d
f
d
t
=
∂
f
∂
t
+
∂
f
∂
x
d
x
d
t
+
∂
f
∂
y
d
y
d
t
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}.}
وعندما نقوم بضرب طرفي المعادلة بمعامل التفاضل
d
t
{\displaystyle \operatorname {d} t}
نحصل على:
d
f
=
∂
f
∂
t
d
t
+
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
.
{\displaystyle {\operatorname {d} f}={\frac {\partial f}{\partial t}}\operatorname {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\operatorname {d} y.}
والنتيجة هي التغير التفاضلي
d
f
{\displaystyle \operatorname {d} f}
للدالة
f
{\displaystyle f}
. ونظرا لأن
f
{\displaystyle f}
تعتمد على
t
{\displaystyle t}
, فإن جزء من هذا التغير سيكون بسبب المشتقة الجزئية للدالة
f
{\displaystyle f}
بالنسبة إلى
t
{\displaystyle t}
. ولكن بعض هذا التغير يعود على المشتقات الجزئية للدالة
f
{\displaystyle f}
واعتمادها على المتغيرات
x
{\displaystyle x}
و
y
{\displaystyle y}
.
وبناء على ذلك نطبق التفاضل
d
t
{\displaystyle \operatorname {d} t}
على المشتقة الكاملة ل
x
{\displaystyle x}
و
y
{\displaystyle y}
للحصول على التفاضل بالنسبة إلى
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} x}
و
d
y
{\displaystyle \operatorname {d} y}
, والتي يمكن بها تعيين تأثيرهما على
d
f
{\displaystyle \operatorname {d} f}
..
ونعبر عن معامل التفاضل كالآتي:
d
d
x
=
∂
∂
x
+
∑
j
=
1
k
d
y
j
d
x
∂
∂
y
j
,
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}={\frac {\partial }{\partial x}}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {\operatorname {d} y_{j}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}},}
وهو يصف المشتقة الكاملة لدالة (في تلك الحالة بالنسبة إلى المتغير x).