ماذا تعرف عن بيان فوقي

في الرياضيات، البيان الفائق (بالإنجليزية: Hypergraph) هو تعميم لمفهوم البيان والذي كل ضلع فيه يحتوي على عدد من الرؤوس. بصيغة رياضية، البيان الفائق







H





{\displaystyle H}



هو الزوج المرتب







H

=

(

X

,

E

)





{\displaystyle H=(X,E)}



حيث







X





{\displaystyle X}



هي مجموعة من العناصر التي تسمى رؤوس، والمجموعة







E





{\displaystyle E}



هي مجموعة غير خاليه جزئيه من







X





{\displaystyle X}



. عناصر المجموعة







E





{\displaystyle E}



تسمى وصلات فائقة أو أضلاع. بالتالي







E





{\displaystyle E}



هي مجموعة غير خاليه من مجموعة القوه











P





(

X

)

∖

{

∅

}





{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}



. حجم مجموعة الرؤوس يسمى رتبة البيان الفائق بينما حجم مجموعة الاضلاع يسمى حجم البيان الفائق.

في حين أن أضلاع البيان البياني يحتوي على عنصرين فقط من مجموعة الرؤوس، الأضلاع الفائقة هي مجموعات مختارة من الرؤوس، ومن الممكن أن تحتوي على أي عدد من الرؤوس. لكن الغالب يرغب بدراسة الرسوم الفائقة التي كل أضلاعها تحتوي على نفس العدد من الرؤوس. البيان الفائق ذو أضلاع موحدة السعة







k





{\displaystyle k}



(k-uniform hypergraph) هو البيان الفائق الذي كل ضلع فائق به







k





{\displaystyle k}



من الرؤوس، أو بمعنى آخر هو البيان الفائق الذي أضلاعه الفائقة هي مجموعات بها







k





{\displaystyle k}



من الرؤوس. فبالتالي، البيان الفائق ذو اضلاع سعتها 2 هو البيان البياني المعروف، والبيان الفائق ذو الاضلاع الموحدة بسعة 3 هو مجموعة من المجموعات الثلاثية، أي بها 3 عناصر. البيان الفائق يسمى أيضاً بنظام المجموعة أو عائلة من المجموعات والمستوحاة من مجموعة شاملة.

الرسومات الفائقة يمكن اعتبارها كهياكل الوقوع (incidence structures). وبصورة خاصة، يوجد بيان وقوع ثنائي التجزئة (incidence graph" or Levi graph ) مقابل كل بيان فائق . بالمقابل، ليس كل الرسومات البيانية الثنائية التجزئة يمكن اعتبارها كرسومات وقوع لرسومات فائقة.

البيانات الفائقة لها مسميات عديدة. ففي الهندسة الحاسوبية يسمى البيان الفائق في بعض الاحيان بـ range space وبالتالي أضلاعه الفائقة تسمى ranges. تسمى الرسوم الفائقة في نظرية اللعب التعاوني بالألعاب البسيطة وينطبق نفس المسمى لحل المشاكل في نظرية الإختيار الإجتماعي. تسمى الأضلاع الفائقة في بعض الدراسات بالروابط الفائقة (hyperlinks) أو موصلات (connectors).

يوجد أنواع خاصة من الرسومات الفائقة والمصنفه حسب سعة الأضلاع الفائقة بها. فمثلا البيان الفائق من السعة







k





{\displaystyle k}



كما وضح أعلاه. وبيان فائق اخر يسمى clutters والذي به كل ضلع فائق ليس محتوى بأي ضلع فائق آخر بنفس البيان الفائق. بالمقابل، الرسومات الفائقة التي تحتوي على كل المجموعات الجزئية من أي ضلع فائق بها تسمى بـ abstract simplicial complexes.