في علم الحاسوب النظري، تهدف لعبة القندس المشغول (بالإنجليزية: Busy beaver) إلى إيجاد برنامج يتوقف ويكون (وفقًا للتعريف) إما أنه ينتج أكبر كمية ممكنة من الخرج، أو يعمل لأطول عدد ممكن من الخطوات. وبما أن بإمكان برنامجٍ ما أن يعمل إلى ما لا نهاية أو ينتج خرجًا لانهائيًا، فإن هذه البرامج تُستبعد من اللعبة. بدلًا من لغات البرمجة التقليدية، تُستخدم في اللعبة آلات تورنغ ذات n حالات، وهي من أوائل النماذج الرياضية للحوسبة.
تتكون آلات تورنغ من شريط لا نهائي، ومجموعة من الحالات المنتهية التي تعمل كـ"كود مصدر" للبرنامج. يُعرّف إنتاج أكبر ناتج بكونه كتابة أكبر عدد من الرقم 1 على الشريط، ويُعرف التشغيل الأطول بأنه تنفيذ أكبر عدد من الخطوات قبل التوقف. تتكوّن لعبة القندس المشغول ذات n حالات من إيجاد آلة تورنغ تتوقف وتُنتج أكبر ناتج أو تعمل لأطول وقت ممكن بين جميع الآلات الممكنة ذات n حالات. تُفترض هذه الآلات بأنها تبدأ على شريطٍ فارغ، يحتوي فقط على الأصفار والآحاد (آلة تورنغ ثنائية). هدف اللعبة هو برمجة مجموعة من الانتقالات بين الحالات لتحقيق أعلى ناتج أو أطول وقت تشغيل مع ضمان توقّف الآلة في النهاية.
يُطلق على آلة تورنغ التي تفوز في لعبة القندس المشغول ذات n حالات اسم قندس مشغول-إن (بالإنجليزية: Busy beaver-n)، أو ببساطة "قندس مشغول"، وتُرمز إليها بـ بي بي-إن. وفقًا للتعريف، إما أن تُحقق هذه الآلة أعلى ناتج (ويرمز له بـ Σ(n) )، أو تعمل لأطول وقت (S(n))، مقارنةً بباقي الآلات المنافسة ذات n حالات.
تحديد وقت التشغيل أو الناتج للـ n-قندس مشغول هو دالة غير قابلة للحساب. في الواقع، فإن كلا الدالتين Σ(n) وS(n) تتجاوزان في النهاية أي دالة قابلة للحساب. وهذا له تأثيرات على نظرية الحوسبة، ومسألة التوقف، ونظرية التعقيد الحسابي. تم تقديم مفهوم القندس المشغول لأول مرة بواسطة تيبور رادو في ورقته البحثية عام 1962 بعنوان "حول الدوال غير القابلة للحساب". ومن أكثر الجوانب إثارة في لعبة القندس المشغول أنه، لو كان بالإمكان حساب الدالتين Σ(n) وS(n) لكل n، لكان بالإمكان حينها حسم جميع التخمينات الرياضية التي يمكن ترميزها على شكل "هل تتوقف <هذه آلة تورنغ>". على سبيل المثال، يمكن لآلة تورنغ ذات 27 حالة أن تتحقق من حدسية غولدباخ لكل عدد وتتوقف عند العثور على مثال مضاد: وإذا لم تتوقف هذه الآلة بعد تنفيذها S(27) خطوة، فإنها لا بد أن تعمل إلى الأبد، مما يحسم التخمين. ويمكن أيضًا التعبير عن العديد من المسائل الأخرى، بما في ذلك فرضية ريمان (744 حالة) واتساق نظرية المجموعات حسب تسيرميلو-فرانكل (745 حالة)، بطريقة مشابهة، حيث يمكن التحقق من عدد قابل للعد من الحالات على الأكثر.