إتقان موضوع الفراغات المعيرة وفراغات بناخ

نجد في الرياضيات فكرة وهي إن طول القطعة المستقيمة في المستوى











R







2











{\displaystyle \mathbf {R} ^{\mathbf {2} }}



ونقطتي النهاية لهذه القطعة مستقيمة هما (0,0) وأي زوج مرتب









x





{\displaystyle \ x}



=(







β





{\displaystyle \beta }



,







α





{\displaystyle \alpha }



)

ففكرة إيجاد طول المتجه









x





{\displaystyle \ x}



فكرة بديهية ويمكن تعميمها لأى فراغ اتجاهى حقيقى











R







n











{\displaystyle \mathbf {R} ^{\mathbf {n} }}



وهذه هي الخصائص لطول المتجه









x





{\displaystyle \ x}



ويرمز له بالرمز







‖

x

‖





{\displaystyle \|x\|}



:





1- أي متجه طوله موجب

2- المتجه الصفرى طوله صفر وأيضا إذا كان طول المتجه صفر فيكون هو المتجه الصفرى

3- ضرب متجه في قيمة قياسية يغير طوله بنفس مقدار القيمة المطلقة دون تغير اتجاه المتجه

حيث أن هذه القيمة القياسية إذا كانت تقع في الفترة











(

−

1

,

1

)







{\displaystyle \ {(-1,1)}}



فإن طول المتجه









x





{\displaystyle \ x}



ينكمش وإذا كانت تاخذ أي قيمة تقع في الفترة









R



−

(

−

1

,

1

)





{\displaystyle \mathbf {R} -(-1,1)}



فإن طول المتجه









x





{\displaystyle \ x}



يتمدد

4- متباينة المثلث متحققه حيث أن طول أي ضلع في المثلث لا يزيد عن مجموع طولى الضلعين الآخرين



و بتجريد هذه الخصائص لأى فراغ اتجاهى نحصل على مفهوم المعيار ألا وهو كمية مجرده ، فمن الممكن أن تصف طول أو حجم أو مدى أي فراغ وبالتالى يكون المعيار مفهوم المسافة في الفراغ الخطى وهذا يتيح لنا معرفة تقارب متسلسلة لانهائية في هذا الفراغ ، وهذا نهتم به في حل عدد لانهائي من المعادلات الخطية ومن هنا كانت بداية التحليل الدالى عندما تعثر الجبر الخطى في حل تلك المعادلات اللانهائية وعلى سبيل المثال عند تحويل معادلة تكاملية إلى نظام من المعادلات الخطية اللانهائية فهنا يظهر لنا متسلسلات لانهائية وبالتالى نريد معرفه تقاربها ، حيث نشأت نظرية بواسطة إسهامات فوليترا (1940-1860)Volterra وفريدهولم (1927-1866 )Fredholm وهيلبرت (1943-1862)Hilbert في المعادلات التكاملية.