يستخدم اقتران هيلاس في فيزياء الجسيمات الفلكية لتحديد الكثافة الطولية للجزيئات في وابل الاشعة الكونية. تم اقتراح الاقتران في عام 1977 من قبل جايسر وهيلاس.
يتم التعبير عن عدد الجزيئات
N
(
X
)
{\displaystyle N(X)}
بدلالة عمق الغلاف الجوي الذي تم اجتيازه
X
{\displaystyle X}
كالتالي:
N
(
X
)
=
N
max
(
X
−
X
0
X
max
−
X
0
)
X
max
−
X
0
λ
exp
(
X
max
−
X
λ
)
{\displaystyle N(X)=N_{\text{max}}\left({\frac {X-X_{0}}{X_{\text{max}}-X_{0}}}\right)^{\tfrac {X_{\text{max}}-X_{0}}{\lambda }}\exp \left({\frac {X_{\text{max}}-X}{\lambda }}\right)}
حيث
N
max
{\displaystyle N_{\text{max}}}
هو العدد الأقصى للجزيئات الموجودة عند العمق
X
max
{\displaystyle X_{\text{max}}}
، و
X
0
{\displaystyle X_{0}}
و
λ
{\displaystyle \lambda }
هما معلمتان أساسيتان تعتمدان على الكتلة والطاقة.
باستخدام التعويض:
n
=
N
N
max
{\displaystyle n={\frac {N}{N_{\text{max}}}}}
و
x
=
X
−
X
0
λ
{\displaystyle x={\frac {X-X_{0}}{\lambda }}}
و
m
=
X
max
−
X
0
λ
{\displaystyle m={\frac {X_{\text{max}}-X_{0}}{\lambda }}}
يمكن كتابة الاقتران بصيغة بديلة أحادية العامل (
m
{\displaystyle m}
) كالتالي:
.
n
(
x
)
=
(
x
m
)
m
exp
(
m
−
x
)
=
x
m
e
−
x
m
m
e
−
m
=
exp
(
m
(
ln
x
−
ln
m
)
−
(
x
−
m
)
)
{\displaystyle n(x)=\left({\frac {x}{m}}\right)^{m}\exp(m-x)={\frac {x^{m}e^{-x}}{m^{m}e^{-m}}}=\exp(m(\ln x-\ln m)-(x-m))}