في علم التفاضل، يعد اختبار المشتقة الثانية معيار ذا أهمية لمعرفة نوع النقطة الساكنة للدالة (عظمى، صغرى أم انقلاب) عند النقطة المعنية.
ينص الفحص على أنه: إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة ساكنة xبمعنى أنه
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \ f^{\prime }(x)=0}
, فإن:
إذا كانت
f
′
′
(
x
)
<
0
{\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)<0}
فإن
f
{\displaystyle \ f}
لها نهاية عظمى محلية عند
x
{\displaystyle \ x}
.
إذا كانت
f
′
′
(
x
)
>
0
{\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)>0}
فإن
f
{\displaystyle \ f}
لها نهاية صغرى محلية
x
{\displaystyle \ x}
.
إذا كانت
f
′
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0}
,لاينص اختبار المشتقة الثانية على شيء عن النقطة
x
{\displaystyle \ x}
, يمكن أن تكون نقطة انقلاب.
في الحالة الأخيرة، بالرغم من أن الدالة قد يكون لها قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية عند x, لأن الدالة «مسطحة» بما يكفي (أي أن
f
′
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0}
) القيم العظمى والصغرىتظل غير محسوسة بالاشتقاق الثاني. في حالة كهذه يفضل اختبار المشتقة الثالثة. النقطة عند
f
′
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0}
تكون نقطة انقلاب إذا تغير تقعرها من أي من الجانبين. عل سبيل المثال, (0,0) هي نقطة انقلاب على
f
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle \ f(x)=x^{3}}
لأن
f
′
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle \ f^{\prime \prime }(0)=0}
, و
f
′
′
(
−
1
)
<
0
{\displaystyle \ f^{\prime \prime }(-1)<0}
و
f
′
′
(
1
)
>
0
{\displaystyle \ f^{\prime \prime }(1)>0}
.