théorèmes d’incomplétude de Gödel

== Français == === Étymologie === (1931) Locution nominale composée : – de théorèmes, du latin theorema issu du grec ancien θεώρημα, theốrêma (« spectacle, fête, contemplation, sujet d'étude. »), dérivé, avec le suffixe -μα, -ma, de θεωρέω, theôréô (« examiner, regarder, considérer »), de θέα, théa (« contemplation ») et ὁράω, horáô (« regarder, voir »), – d’incomplétude, dérivé de complet, avec le suffixe -tude, du latin completus (« rempli, complété, complet »), participe passé de compleo, verbe composé du préfixe con- et de pleo hérité de l’indo-européen commun *pel (« verser, emplir, empli, plein »), – du nom propre : Gödel, du logicien et mathématicien autrichien naturalisé américain Kurt Gödel (1906-1978). ==== Attestations historiques ==== La locution désigne les deux théorèmes publiés par Gödel en 1931 dans l’article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »), paru dans les Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 38, p. 173-198. === Locution nominale === théorèmes d’incomplétude de Gödel \teo.ʁɛm d‿ɛ̃.kɔ̃.ple.tyd də ɡœ.dɛl\ masculin pluriel invariable (Logique, Mathématiques) Deux théorèmes fondamentaux de la logique mathématique, établis par Kurt Gödel en 1931, qui démontrent les limites de tout système formel cohérent suffisamment expressif pour y développer l’arithmétique élémentaire : le premier théorème établit qu’un tel système contient nécessairement des énoncés indécidables (ni démontrables, ni réfutables dans ce système) ; le second théorème établit que la cohérence d’un tel système ne peut être démontrée au sein de ce système lui-même. L’importance des théorèmes d’incomplétude de Gödel est peu à peu perçue par le public, après avoir ébranlé la conception que les mathématiciens et les logiciens eux-mêmes avaient de leur propre discipline. Ces théorèmes prouvent, en effet, qu’un système d’axiomes cohérent et suffisamment expressif est susceptible de générer des énoncés dont la validité ne peut être démontrée dans le cadre des règles mêmes qui gouvernent la formulation de ces énoncés et leurs déductions. — (Raymond M. Smullyan, Les théorèmes d’incomplétude de Gödel, trad. Maurice Margenstern, Masson, coll. « Axiomes » (quatrième de couverture), Paris, 2000. → lire en ligne) En 1931, son théorème détruit le rêve de Hilbert à tout jamais : il démontre qu’une théorie permettant de définir les nombres entiers, quelle qu’elle soit, ne sera jamais parfaite. Plus précisément, soit ce système d’axiomes permettra de démontrer des résultats faux, soit il existera au moins un résultat vrai qui ne pourra pas être démontré à partir de ces axiomes. — (Podcast Science, Les théorèmes d'incomplétude de Gödel, 28 juin 2012. → lire en ligne) Le premier théorème d’incomplétude peut être énoncé de la façon encore un peu approximative suivante : « Dans n’importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de "formaliser l’arithmétique", on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni démontré ni réfuté dans cette théorie. » De tels énoncés sont dits indécidables dans cette théorie. — (Wikipédia, article Théorèmes d’incomplétude de Gödel. → lire en ligne) === Synonymes === théorèmes de Gödel === Hyperonymes === axiome limitation des formalismes métathéorème théorème === Vocabulaire apparenté par le sens === ω-cohérence arithmétique de Peano axiomatisation récursive cohérence complétude décidabilité énoncé indécidable expressif numérotation de Gödel programme de Hilbert système formel théorie des modèles === Traductions === === Prononciation === \teo.ʁɛm d‿ɛ̃.kɔ̃.ple.tyd də ɡœ.dɛl\ === Voir aussi === Théorèmes d'incomplétude de Gödel sur l’encyclopédie Wikipédia Kurt Gödel sur l’encyclopédie Wikipédia === Références === René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique. Cours et exercices, tome II : Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles, préface de J.-L. Krivine, collection Axiomes, Masson, Paris, 2003. ISBN 2-225-84080-6 Raymond M. Smullyan, Les théorèmes d’incomplétude de Gödel, traduit de l’américain par Maurice Margenstern, Masson, coll. « Axiomes », Paris, 1993 ; nouvelle présentation Dunod, Paris, 2000. ISBN 2-100-05287-X