préimage
التعريفات والمعاني
== Français ==
=== Étymologie ===
Dérivé de image, avec le préfixe pré-.
=== Nom commun ===
préimage \pʁe.i.maʒ\ féminin
(Mathématiques) Pour une application
f
{\displaystyle f}
définie d’un ensemble
X
{\displaystyle X}
à un ensemble
Y
{\displaystyle Y}
(
f
:
X
↦
Y
{\displaystyle f:X\mapsto Y}
) et un sous-ensemble
B
{\displaystyle B}
de l’ensemble de destination
Y
{\displaystyle Y}
(
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
), la préimage de
B
{\displaystyle B}
,
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
, est l’ensemble des éléments de
X
{\displaystyle X}
envoyés dans
B
{\displaystyle B}
par
f
{\displaystyle f}
:
f
−
1
(
B
)
=
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
∈
B
}
{\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}
.
Soit la fonction
f
:
R
↦
R
;
f
(
x
∈
R
)
=
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;f(x\in \mathbb {R} )=x^{2}}
.La préimage de l’intervalle
[
+
4
;
+
9
]
{\displaystyle [+4;+9]}
est le double intervalle
[
−
3
;
−
2
]
∪
[
+
2
;
+
3
]
{\displaystyle [-3;-2]\cup [+2;+3]}
.La préimage de l’intervalle
[
−
9
;
+
9
]
{\displaystyle [-9;+9]}
est l’intervalle
[
−
3
;
+
3
]
{\displaystyle [-3;+3]}
.La préimage de l’intervalle
[
−
9
;
−
1
]
{\displaystyle [-9;-1]}
est l’ensemble vide
∅
{\displaystyle \emptyset }
(vu que
x
2
{\displaystyle x^{2}}
est toujours positif).
(En particulier) (Mathématiques) Pour un seul élément
y
{\displaystyle y}
de l’ensemble de destination, la préimage de
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
est définie par :
f
−
1
(
y
)
=
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
=
y
}
{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}}
, c’est-à-dire l’ensemble des antécédents de
y
{\displaystyle y}
.
Soit la fonction
f
:
R
↦
R
;
f
(
x
∈
R
)
=
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;f(x\in \mathbb {R} )=x^{2}}
.La préimage de +9 est
{
−
3
;
+
3
}
{\displaystyle \{-3;+3\}}
.La préimage de 0 est
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
.La préimage de -4 est l’ensemble vide
∅
{\displaystyle \emptyset }
(vu que
x
2
{\displaystyle x^{2}}
est toujours positif).
==== Notes ====
La préimage de
B
{\displaystyle B}
est en quelque sorte son « ensemble antécédent » (l’ensemble des antécédents des éléments de
B
{\displaystyle B}
).
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
est également une application.
L’expression de la seconde définition avec le formalisme de la première est triviale ; il suffit d'écrire :
B
=
{
y
}
{\displaystyle B=\{y\}}
.
Si l’application
f
{\displaystyle f}
est bijective, la préimage de chaque
y
{\displaystyle y}
devient un singleton contenant son seul et unique antécédent → voir bijection réciproque.
==== Synonymes ====
image réciproque
==== Vocabulaire apparenté par le sens ====
antécédent
application
bijection
bijection réciproque
ensemble
ensemble d’arrivée
ensemble de départ
fonction
fonction réciproque
image ou image directe
réciproque
singleton
sous-ensemble
==== Traductions ====
=== Anagrammes ===
→ Modifier la liste d’anagrammes
=== Voir aussi ===
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